На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2_3 всех мужчин и 1_5 всех женщин. Сколько людей…

Для решения этой задачи давайте обозначим количество мужчин и женщин на балу.

Пусть \( m \) — количество мужчин, а \( w \) — количество женщин. Из условия задачи нам известно, что на балу может быть не более 25 человек, то есть:

\[ m + w \leq 25. \]

Также известно, что танцуют \( \frac{2}{3} \) всех мужчин и \( \frac{1}{5} \) всех женщин. Количество танцующих мужчин и женщин можно записать в виде:

\[ \frac{2}{3}m \quad \text{(танцующие мужчины)} \] \[ \frac{1}{5}w \quad \text{(танцующие женщины)}. \]

Так как танцуют в парах (один мужчина с одной женщиной), количество танцующих мужчин равно количеству танцующих женщин. Следовательно, мы можем записать равенство:

\[ \frac{2}{3}m = \frac{1}{5}w. \]

Теперь умножим обе стороны на 15, чтобы избавиться от дробей:

\[ 15 \cdot \frac{2}{3}m = 15 \cdot \frac{1}{5}w, \] что упрощается до:

\[ 10m = 3w. \]

Теперь выразим \( w \) через \( m \):

\[ w = \frac{10}{3}m. \]

Теперь подставим это значение в неравенство \( m + w \leq 25 \):

\[ m + \frac{10}{3}m \leq 25. \]

Сложим \( m \) и \( \frac{10}{3}m \):

\[ \frac{3}{3}m + \frac{10}{3}m = \frac{13}{3}m \leq 25. \]

Умножим обе стороны на 3:

\[ 13m \leq 75. \]

Теперь разделим обе стороны на 13:

\[ m \leq \frac{75}{13} \approx 5.77. \]

Так как количество мужчин \( m \) должно быть целым числом, то возможные значения для \( m \) — это 1, 2, 3, 4, 5.

Теперь подставим значения \( m \) в выражение для \( w \):

1. Если \( m = 1 \), \( w = \frac{10}{3} \cdot 1 \approx 3.33\) (не целое);
2. Если \( m = 2 \), \( w = \frac{10}{3} \cdot 2 \approx 6.67\) (не целое);
3. Если \( m = 3 \), \( w = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10\) (целое);
4. Если \( m = 4 \), \( w = \frac{10}{3} \cdot 4 \approx 13.33\) (не целое);
5. Если \( m = 5 \), \( w = \frac{10}{3} \cdot 5 \approx 16.67\) (не целое).

Следовательно, единственное подходящее целое решение:

• \( m = 3 \)
• \( w = 10 \)

Теперь посчитаем общее количество людей:

\[ m + w = 3 + 10 = 13. \]

Таким образом, на балу присутствует 13 человек.