Простое число р таково, что для любых а и b числа 13а + 4b и а + 36 или оба делятся на р. или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый…

Рассмотрим простое число \( p \) и условия задачи. Мы хотим, чтобы для любых \( a \) и \( b \) выполнялось следующее: \( 13a + 4b \equiv 0 \mod p \) и \( a + 36 \equiv 0 \mod p \), или они оба не делятся на \( p \).

Начнём с того, что можно рассмотреть два случая:

1. Случай 1: Пусть \( a + 36 \equiv 0 \mod p \), тогда \( a \equiv -36 \mod p \).

   Подставим это значение в \( 13a + 4b \): \[ 13(-36) + 4b \equiv -468 + 4b \mod p. \] Теперь значение \( 4b \) при \( -468 \) дает: \[ 4b \equiv 468 \mod p \implies b \equiv \frac{468}{4} \mod p. \] Заметим, что \( 468 \equiv 0 \mod p \) если \( p \) делит \( 468 \).

2. Случай 2: Пусть \( a + 36 \not\equiv 0 \mod p \). В этом случае требуется, чтобы \( 13a + 4b \not\equiv 0 \mod p \) для всех \( b \), что в общем случае сложно обеспечить.

Теперь найдем простые числа, которые делят \( 468 \). Чтобы это сделать, разложим 468 на простые множители: \[ 468 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13. \] Следовательно, простые делители числа 468 это \( 2 \), \( 3 \), и \( 13 \).

Таким образом, подойдут следующие значения для \( p \):

• \( p = 2 \)
• \( p = 3 \)
• \( p = 13 \)

Запишите ответ, включая весь список простых чисел \( p \):

• 2
• 3
• 13