№ 4 В кошельке лежит 950 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите…
№ 4 В кошельке лежит 950 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите это количество.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Итак, у нас есть три типа монет: одно-, двух- и пятирублёвые. Обозначим количество однорублёвых монет как \(x\), количество двухрублёвых монет как \(y\), а количество пятирублёвых монет как \(z\).
Из условия задачи у нас есть следующая информация:
Общее количество монет:
\(x + y + z = 300\)Общее количество денег:
\(1x + 2y + 5z = 950\)Количество двух видов монет одинаково:
Пусть, например, однорублёвые и двухрублёвые монеты равны; тогда \(x = y\). Это также может быть и другими сочетаниями, так что рассмотрим оба варианта.
Начнем с первого варианта, где \(x = y\):
Обозначим \(x\) как \(a\). Тогда \(y = a\) и у нас останется \(z = 300 - 2a\).
Теперь подставим \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнение с деньгами:
\[ 1a + 2a + 5(300 - 2a) = 950 \]
Упрощаем это уравнение:
\[ 1a + 2a + 1500 - 10a = 950 \] \[ 1500 - 7a = 950 \] \[ 7a = 1500 - 950 \] \[ 7a = 550 \] \[ a = \frac{550}{7} \approx 78.57 \]
Это количество не может быть целым, значит, такой вариант не подходит.
Теперь рассмотрим второй вариант, где \(y = z\):
То есть \(y = b\) и \(z = b\), тогда \(x + b + b = 300\), что даёт:
\[ x + 2b = 300 \quad (1) \]
Теперь подставим это в уравнение с деньгами:
\[ 1x + 2b + 5b = 950 \] \[ x + 7b = 950 \quad (2) \]
Теперь решим эту систему уравнений (1) и (2).
Из (1) выразим \(x\):
\[ x = 300 - 2b \]
Теперь подставим в (2):
\[ 300 - 2b + 7b = 950 \] \[ 300 + 5b = 950 \] \[ 5b = 950 - 300 \] \[ 5b = 650 \] \[ b = 130 \]
Теперь подставим значение \(b\) обратно в (1):
\[ x + 2 \cdot 130 = 300 \] \[ x + 260 = 300 \] \[ x = 40 \]
Теперь мы можем подсчитать количество монет:
- Количество однорублёвых монет \(x = 40\),
- Количество двухрублёвых монет \(y = 130\),
- Количество пятирублёвых монет \(z = 130\).
Таким образом, количество монет двух достоинств (двухрублёвых и пятирублёвых) равно 130.
