Доказать что треугольник АВС, с координатами А (-5; 2; 0), В (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2) прямоугольный. Вычислите площадь по формуле прямоугольного треугольника.
Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно проверить ортогональность двух его сторон. Это можно сделать, вычислив скалярное произведение векторов, образованных этими сторонами.
Сначала найдем векторы AB и AC:
- Вектор AB = B - A = (-4; 3; 0) - (-5; 2; 0) = (1; 1; 0)
- Вектор AC = C - A = (-5; 2; -2) - (-5; 2; 0) = (0; 0; -2)
Теперь проверим, являются ли векторы AB и AC перпендикулярными, вычислив их скалярное произведение:
\[ AB \cdot AC = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0 \]
Так как скалярное произведение равно нулю, мы заключаем, что векторы AB и AC перпендикулярны, а значит, треугольник ABC является прямоугольным.
Теперь вычислим площадь этого треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \]
Сначала найдем длины векторов AB и AC:
Длина AB: \[ |AB| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]
Длина AC: \[ |AC| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \]
Теперь можем найти площадь треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2 = \sqrt{2} \]
Итак, треугольник ABC является прямоугольным, а его площадь равна \( \sqrt{2} \).
