Три волшебница собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки , а при повторном взмахе - полностью закрывает. Изначально все бутоны закрыты. первая волшебница взмахнула палочкой над 117 различными кувшинками , вторая - над 119 , а третья - над 113. В результате все цветы раскрылись . Над сколькими кувшинками взмахнули трижды ?

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

1. У нас есть 125 кувшинок, и все они изначально закрыты.
2. Первая волшебница взмахнула палочкой над 117 кувшинками, вторая - над 119, а третья - над 113.

Каждая волшебница делает «первый» взмах, который открывает лепестки у выбранных кувшинок (если они закрыты) и «второй» взмах, который закрывает лепестки (если они открыты). Таким образом, если кувшинка подвергалась взмаху трижды, это означает, что чтобы все лепестки раскрылись, она должна была быть выбрана дважды (чтобы их закрыть) и один раз (чтобы открыть).

Итак, давайте обозначим:

• \( x \) - количество кувшинок, над которыми взмахнули трижды.
• \( a \) - количество кувшинок, над которыми взмахнули дважды (они закроются после двух взмахов и откроются при последнем).
• \( b \) - количество кувшинок, над которыми взмахнули один раз (они просто открылись).

Мы знаем, что:

• \( x + a + b = 125 \), так как общее количество кувшинок 125.

Теперь рассчитаем количество взмахов. У нас есть три волшебницы, соответственно, общее количество взмахов будет равно:

• Первая волшебница: 117
• Вторая волшебница: 119
• Третья волшебница: 113

Общее количество взмахов: \( 117 + 119 + 113 = 349 \).

Из каждого кувшинка после всех взмахов, все 125 цветков открыты. Теперь если учесть, что:

• Каждая кувшинка, над которой взмахнули трижды, считается в общем количестве взмахов 3 раза.
• Каждая кувшинка, над которой взмахнули дважды, считается 2 раза.
• Каждая, над которой взмахнули один раз, считается 1 раз.

Мы можем написать уравнение для общего числа взмахов: \[ 3x + 2a + b = 349. \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + a + b = 125 \)
2. \( 3x + 2a + b = 349 \)

Чтобы решить эту систему, давайте выразим \( b \) из первого уравнения и подставим во второе: \[ b = 125 - x - a. \]

Подставим это в второе уравнение: \[ 3x + 2a + (125 - x - a) = 349. \] Упростим его: \[ 3x + 2a + 125 - x - a = 349, \] \[ 2x + a + 125 = 349, \] \[ 2x + a = 224, \] \[ a = 224 - 2x. \]

Теперь подставим \( a \) в первое уравнение: \[ x + (224 - 2x) + b = 125. \] \[ -x + 224 + b = 125, \] \[ b = 125 + x - 224, \] \[ b = x - 99. \]

Теперь подставим \( b \) обратно в первое уравнение: \[ x + (224 - 2x) + (x - 99) = 125, \] \[ 224 - 2x + x - 99 = 125, \] \[ 125 - x = 125, \] \[ x = 0. \]

Таким образом, мы видим, что \( x = 0 \), то есть ни одна кувшинка не была выбрана трижды. Таким образом, все кувшинки были открыты, но ни над одной из них не взмахнули трижды.

Ответ: над сколькими кувшинками взмахнули трижды? Ни над какими.