При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля —…

Для решения этой задачи можно использовать метод включений и исключений, так как каждая кнопка может загореться или погаснуть в зависимости от количества нажатий.

Обозначим:

• \( n \) — общее количество этажей (кнопок) лифта, в данном случае \( n = 23 \).
• \( a \) — количество нажатий Вася (12),
• \( b \) — количество нажатий Коля (14),
• \( c \) — количество нажатий Петя (19).

Сначала сложим все нажатия: \[ a + b + c = 12 + 14 + 19 = 45. \]

Каждая кнопка может быть нажата 0, 1, 2, или 3 раза. Кнопка загорается при нечетном числе нажатий (1 или 3), и гаснет, если число нажатий четное (0 или 2).

Согласно условию, в результате все 23 кнопки должны быть включены. Это возможно только если:

1. Некоторое количество кнопок было нажато 3 раза.
2. Остальные кнопки были нажаты нечетное количество раз (1 раз).

Обозначим:

• \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты 3 раза,
• \( y \) — количество кнопок, которые были нажаты 1 раз.

Тогда у нас есть две уравнения:

1. \( x + y = 23 \) (общее количество кнопок)
2. \( 3x + y = 45 \) (общее количество нажатий)

Теперь решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 23 - x. \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ 3x + (23 - x) = 45. \]

Упростим уравнение: \[ 3x + 23 - x = 45, \] \[ 2x + 23 = 45, \] \[ 2x = 45 - 23, \] \[ 2x = 22, \] \[ x = 11. \]

Теперь подставим значение \( x \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = 23 - 11 = 12. \]

Таким образом, ответ на ваш вопрос: кнопки, которые были нажаты трижды, равно \( 11 \).