Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на два и увеличив ширину на три. Таня тоже нарисовала свой…

Обозначим длину прямоугольника Даши как \( a \) и ширину как \( b \).

Тогда:

• Площадь прямоугольника Кати: \[ S_K = (a - 2)(b + 3) \]
• Площадь прямоугольника Тани: \[ S_T = (a - 3)(b + 5) \]

Согласно условию задачи, площади прямоугольников Кати и Тани равны: \[ (a - 2)(b + 3) = (a - 3)(b + 5) \]

Раскроим скобки: \[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

Упрощаем уравнение (обе стороны равны \( ab \)): \[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]

Переносим все термины в одну сторону: \[ -2b + 3b - 6 + 15 = 5a - 3a \] \[ b + 9 = 2a \] Следовательно, мы можем выразить \( b \) через \( a \): \[ b = 2a - 9 \]

Теперь мы можем выразить периметр прямоугольника Даши: \[ P = 2(a + b) = 2(a + (2a - 9)) = 2(3a - 9) = 6a - 18 \]

Теперь находим возможные значения \( a \) и \( b \), при этом \( b \) должно быть целым и положительным: \[ 2a - 9 > 0 \implies 2a > 9 \implies a > 4.5 \] Так как \( a \) — целое, тогда \( a \geq 5 \).

Теперь найдем значения периметра \( P \) для целых значений \( a \):

• Для \( a = 5 \): \[ P = 6 \cdot 5 - 18 = 30 - 18 = 12 \]
• Для \( a = 6 \): \[ P = 6 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 = 18 \]
• Для \( a = 7 \): \[ P = 6 \cdot 7 - 18 = 42 - 18 = 24 \]
• Для \( a = 8 \): \[ P = 6 \cdot 8 - 18 = 48 - 18 = 30 \]
• Для \( a = 9 \): \[ P = 6 \cdot 9 - 18 = 54 - 18 = 36 \]
• Для \( a = 10 \): \[ P = 6 \cdot 10 - 18 = 60 - 18 = 42 \]
• Для \( a = 11 \): \[ P = 6 \cdot 11 - 18 = 66 - 18 = 48 \]
• Для \( a = 12 \): \[ P = 6 \cdot 12 - 18 = 72 - 18 = 54 \]

Продолжаем так далее, находим \( P \) для других \( a \).

Таким образом, нам нужно найти, какие из перечисленных значений периметра совпадают с нашими расчетами:

• 54 (возможно),
• 50 (не возможно),
• 52 (не возможно),
• 100 (не возможно),
• 206 (не возможно).

Находим, что единственное подходящее значение периметра — это 54.

Окончательный ответ: 54