на балу присутствует более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3_4 всех мужчин и 4_5 всех женщин. Сколько людей присутствует…

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин как \( M \) и количество женщин как \( W \). Из условия нам известно, что на балу присутствует более 60 человек, то есть:

\[ M + W > 60. \]

Также указано, что танцуют \( \frac{3}{4} \) всех мужчин и \( \frac{4}{5} \) всех женщин. Это значит, что количество танцующих мужчин равно:

\[ \frac{3}{4} M, \]

а количество танцующих женщин равно:

\[ \frac{4}{5} W. \]

Так как танцуют в парах, количество танцующих мужчин должно быть равно количеству танцующих женщин. Следовательно, мы можем составить уравнение:

\[ \frac{3}{4} M = \frac{4}{5} W. \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на 20 (общее кратное 4 и 5), чтобы избавиться от дробей:

\[ 20 \cdot \frac{3}{4} M = 20 \cdot \frac{4}{5} W, \]

что приводит нас к:

\[ 15M = 16W. \]

Теперь выразим \( W \) через \( M \):

\[ W = \frac{15}{16} M. \]

Теперь подставим это значение в первое неравенство:

\[ M + \frac{15}{16}M > 60. \]

Сложим \( M \):

\[ \frac{16}{16} M + \frac{15}{16} M > 60, \] \[ \frac{31}{16} M > 60. \]

Умножим обе стороны на \( \frac{16}{31} \):

\[ M > 60 \cdot \frac{16}{31}, \] \[ M > \frac{960}{31} \approx 30.97. \]

Так как \( M \) — это целое число, мы округляем до ближайшего большего целого числа:

\[ M \geq 31. \]

Теперь подставляем \( M = 31 \) в выражение для \( W \):

\[ W = \frac{15}{16} \cdot 31 \approx 29.0625. \]

Поскольку \( W \) также должно быть целым числом, минимально допустимое значение \( M \), позволяющее \( W \) принимать целое значение, можно найти, устанавливая \( M \) равным 32 и выше. Следовательно, чтобы \( M + W > 60 \), наименьшее целое число, когда \( M \) начинается с 32, даёт следующее:

Подставляя \( M = 32 \):

\[ W = \frac{15}{16} \cdot 32 = 30. \]

Теперь проверим сумму:

\[ M + W = 32 + 30 = 62. \]

Итак, на балу присутствует 62 человека. Сумма также учитывает предпосылку, что количество танцующих мужчин и женщин совпадает.

Таким образом, ответ на вопрос: на балу присутствует 62 человека.