В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 49 см. Чему равна диагональ прямоугольника?

В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом, равным углу между сторонами. Пусть \( a \) — меньшая сторона (49 см), \( b \) — большая сторона, а \( d \) — длина диагонали.

Угол между диагоналями равен 60°. Мы знаем, что угол между диагоналями и сторонами можно выразить через угол между крайними сторонами. Угол между диагоналями можно найти с помощью формулы:

\[ \cos(\alpha) = \frac{a^2 + b^2 - d^2}{2ab} \]

где \( \alpha \) — угол между диагоналями.

Мы начнем с нахождения диагонали \( d \):

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Используем 60° для нахождения проекций сторон через синус и косинус:

\[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Подставим в формулу:

\[ \frac{a^2 + b^2 - d^2}{2ab} = \frac{1}{2} \]

После упрощения, получим:

\[ a^2 + b^2 - d^2 = ab \]

Исходя из формулы для диагонали, подставим \( d^2 = a^2 + b^2 \):

\[ a^2 + b^2 - (a^2 + b^2) = ab \]

Эта уравнение ничего не даст, поэтому полагаем, что \( b = x \).

Тогда дальше можем выразить длину диагонали через стороны:

\[ d = \sqrt{49^2 + x^2} \]

Так как угол между диагоналями равен 60°, можем выразить \( x \):

Используя тригонометрические свойства. Сначала выведен угол между диагоналями для прямоугольника:

\[ \tan(\theta) = \frac{а}{b} \]

Тогда, согласно условию, если использовать дополнительно неравенство:

Обозначим:

\[ \theta = 60° \]

И отсюда:

\[ b = 49\sqrt{3} \]

Теперь находим диагональ:

Подставляем:

\[ d = \sqrt{49^2 + b^2} = \sqrt{49^2 + (49\sqrt{3})^2} \]

\[ = \sqrt{49^2 + 49^2 \cdot 3} = \sqrt{49^2(1 + 3)} = \sqrt{49^2 \cdot 4} = 49 \cdot 2 = 98 \]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 98 см.