На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах( один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин и 1/5 всех женщин. Сколько людей присутствуют на балу?
Обозначим количество мужчин на балу как \( m \), а количество женщин как \( w \). Тогда общее количество людей на балу составит \( m + w \).
Согласно условию, на данный момент танцуют \( \frac{2}{3} \) всех мужчин, то есть \( \frac{2}{3}m \), и \( \frac{1}{5} \) всех женщин, то есть \( \frac{1}{5}w \).
Так как пары составляют по одному мужчине и одной женщине, количество танцующих пар не может превышать количество танцующих мужчин или женщин, и соответственно будет равно:
\[ \frac{2}{3}m = \frac{1}{5}w \]
Теперь найдем \( w \) через \( m \):
\[ 5 \cdot \frac{2}{3}m = w \] \[ \frac{10}{3}m = w \]
Теперь подставим это значение в общее количество людей на балу:
\[ m + w = m + \frac{10}{3}m = \frac{3}{3}m + \frac{10}{3}m = \frac{13}{3}m \]
Поскольку на балу присутствует не более 25 человек, получаем неравенство:
\[ \frac{13}{3}m \leq 25 \]
Умножим обе стороны на 3:
\[ 13m \leq 75 \]
Разделим обе стороны на 13:
\[ m \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \]
Так как \( m \) должно быть целым числом, максимальное значение для \( m \) равно 5. Теперь проверим возможные значения \( m \) от 1 до 5 и найдем соответствующее значение \( w \):
- Если \( m = 1 \): \( w = \frac{10}{3} \cdot 1 \approx 3.33 \) (нецелое)
- Если \( m = 2 \): \( w = \frac{10}{3} \cdot 2 \approx 6.67 \) (нецелое)
- Если \( m = 3 \): \( w = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10 \) (целое)
- Если \( m = 4 \): \( w = \frac{10}{3} \cdot 4 \approx 13.33 \) (нецелое)
- Если \( m = 5 \): \( w = \frac{10}{3} \cdot 5 \approx 16.67 \) (нецелое)
Единственное целое решение для \( m \) и \( w \) получается при \( m = 3 \) и \( w = 10 \).
Теперь считаем общее количество людей:
\[ m + w = 3 + 10 = 13 \]
Таким образом, на балу присутствует 13 человек.
