Жора задумал три натуральных числа а, b, с. Чему могут равняться а + b,b + с и с+а? 101, 209, 306 101, 202, 505 206, 305, 404 301, 302, 607 404, 504, 704

Рассмотрим три натуральных числа \( a \), \( b \), \( c \). Тогда следующие равенства могут быть записаны как:

1. \( a + b = x \)
2. \( b + c = y \)
3. \( c + a = z \)

Для нахождения \( a, b, c \) можно выразить числа:

\[ a = \frac{(x + z - y)}{2}, \quad b = \frac{(x + y - z)}{2}, \quad c = \frac{(y + z - x)}{2} \]

Числа \( a, b, c \) будут натуральными, если \( x + z - y \), \( x + y - z \), и \( y + z - x \) — четные числа и больше нуля.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

1. \( x = 101, y = 209, z = 306 \)

   • \( a = \frac{(101 + 306 - 209)}{2} = \frac{198}{2} = 99 \)
   • \( b = \frac{(101 + 209 - 306)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   • \( c = \frac{(209 + 306 - 101)}{2} = \frac{414}{2} = 207 \)
     \( (99, 2, 207) \) — натуральные числа.

2. \( x = 101, y = 202, z = 505 \)

   • \( a = \frac{(101 + 505 - 202)}{2} = \frac{404}{2} = 202 \)
   • \( b = \frac{(101 + 202 - 505)}{2} = \frac{-202}{2} = -101\) — не подходит.

3. \( x = 206, y = 305, z = 404 \)

   • \( a = \frac{(206 + 404 - 305)}{2} = \frac{305}{2} = 152.5 \) — не подходит.

4. \( x = 301, y = 302, z = 607 \)

   • \( a = \frac{(301 + 607 - 302)}{2} = \frac{606}{2} = 303 \)
   • \( b = \frac{(301 + 302 - 607)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) — не подходит.

5. \( x = 404, y = 504, z = 704 \)

   • \( a = \frac{(404 + 704 - 504)}{2} = \frac{604}{2} = 302 \)
   • \( b = \frac{(404 + 504 - 704)}{2} = \frac{204}{2} = 102 \)
   • \( c = \frac{(504 + 704 - 404)}{2} = \frac{804}{2} = 402 \)
     \( (302, 102, 402) \) — натуральные числа.

Таким образом, возможные натуральные числа \( a, b, c \) соответствуют только первой и пятой группам.