Из клетчатого квадрата 8 × 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения задачи необходимо рассмотреть квадрат 8 × 8, который содержит 64 клетки. Мы хотим вырезать определенное количество клеток с углов, чтобы оставшиеся клетки можно было разбить на квадраты со сторонами 1 и 2, причем квадратов каждого типа должно быть поровну.

Обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( x \) и количество квадратов со стороной 2 как \( x \).

Площадь одного квадрата со стороной 1 равна \( 1^2 = 1 \), а площадь квадрата со стороной 2 равна \( 2^2 = 4 \).

Так что общая площадь оставшихся клеток будет равна: \[ P = 1 \cdot x + 4 \cdot x = 5x. \]

Изначально площадь всего квадрата 8 × 8 равна 64. Если мы вырезаем \( k \) клеток, то площадь оставшихся клеток становится: \[ 64 - k = 5x. \]

Теперь мы можем выразить \( k \): \[ k = 64 - 5x. \]

Значение \( k \) должно быть неотрицательным, то есть: \[ 64 - 5x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{64}{5} = 12.8. \]

Так как \( x \) должно быть целым числом, максимальное значение \( x \) равно 12. Теперь подставим возможные целые значения \( x \) (от 0 до 12) и найдем соответствующие значения \( k \):

• Для \( x = 0 \): \( k = 64 - 5 \cdot 0 = 64 \)
• Для \( x = 1 \): \( k = 64 - 5 \cdot 1 = 59 \)
• Для \( x = 2 \): \( k = 64 - 5 \cdot 2 = 54 \)
• Для \( x = 3 \): \( k = 64 - 5 \cdot 3 = 49 \)
• Для \( x = 4 \): \( k = 64 - 5 \cdot 4 = 44 \)
• Для \( x = 5 \): \( k = 64 - 5 \cdot 5 = 39 \)
• Для \( x = 6 \): \( k = 64 - 5 \cdot 6 = 34 \)
• Для \( x = 7 \): \( k = 64 - 5 \cdot 7 = 29 \)
• Для \( x = 8 \): \( k = 64 - 5 \cdot 8 = 24 \)
• Для \( x = 9 \): \( k = 64 - 5 \cdot 9 = 19 \)
• Для \( x = 10 \): \( k = 64 - 5 \cdot 10 = 14 \)
• Для \( x = 11 \): \( k = 64 - 5 \cdot 11 = 9 \)
• Для \( x = 12 \): \( k = 64 - 5 \cdot 12 = 4 \)

Таким образом, возможные количества клеток, которые могли быть вырезаны, следующие: 64, 59, 54, 49, 44, 39, 34, 29, 24, 19, 14, 9 и 4.

Таким образом, количество клеток, которое могло быть вырезано, — это одно из перечисленных значений.