Nº4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)=2x^3-9х^2 на отрезке [1; 4]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 \) на отрезке \([1; 4]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: \[ f'(x) = 6x^2 - 18 \]

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 6x^2 - 18 = 0 \] \[ 6x^2 = 18 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \]

   Только \( x = \sqrt{3} \) попадает в отрезок \([1; 4]\).

3. Найти значения функции в критической точке и на концах отрезка:

   • \( f(1) \): \[ f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 = 2 - 9 = -7 \]

   • \( f(4) \): \[ f(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 = 128 - 144 = -16 \]

   • \( f(\sqrt{3}) \): \[ f(\sqrt{3}) = 2(\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3\sqrt{3} - 9 \cdot 3 = 6\sqrt{3} - 27 \]

   Приблизительное значение \( 6\sqrt{3} \) (принимая \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)): \[ 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 \approx 10.392 \] Значит, \[ f(\sqrt{3}) \approx 10.392 - 27 \approx -16.608 \]

4. Сравнить все найденные значения:

   • \( f(1) = -7 \)
   • \( f(4) = -16 \)
   • \( f(\sqrt{3}) \approx -16.608 \)

Наибольшее значение функции на отрезке \([1; 4]\) соответствует \( f(1) = -7 \), а наименьшее - \( f(\sqrt{3}) \approx -16.608 \).

Таким образом:

• Наибольшее значение: \( -7 \) на \( x = 1 \).
• Наименьшее значение: \( -16.608 \) на \( x = \sqrt{3} \).