при нажатии на кнопку этажа в лифте 23 этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии гаснет. В лифт зашли Вася, Кола и Петя нажали на 12 различных кнопок, Коля на 14 ,…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

У нас есть лифт с 23 этажа, и изначально все кнопки не горят. Когда кто-то нажимает на кнопку этажа, она загорается. Если кнопка нажата повторно, она гаснет.

Пусть:

• \( a \) — количество кнопок, которые были нажаты каждым из троих (Васей, Колей и Петей).
• \( n \) — общее количество различных кнопок, которые нажаты каждым.
• \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Согласно условиям задачи:

• Вася нажал на 12 кнопок.
• Коля нажал на 14 кнопок.
• Петя нажал на 19 кнопок.

Вместе они нажали \( 12 + 14 + 19 = 45 \) нажатий.

Когда кнопки горят все, это означает, что каждая кнопка была нажата нечетное количество раз. Если кнопка нажата \( n \) раз:

• Если \( n = 1 \), кнопка будет гореть.
• Если \( n = 2 \), кнопка не будет гореть (погаснет).
• Если \( n = 3 \), кнопка снова будет гореть.

Пусть \( k \) — количество кнопок, которые были нажаты один раз, \( m \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды, и \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Тогда можно представить это как уравнение:

\( k + m + x = n \), где \( n \) — общее количество уникальных кнопок, которое мы ищем.

На основании предположений:

1. Количество нажатий \( 1k + 2m + 3x = 45 \).
2. Но так как все кнопки горят, \( k + m + x = 23 \) (максимально 23 кнопки, так как 23 этажа).

Теперь подставим \( n = 23 \):

Система уравнений:

1. \( k + m + x = 23 \)
2. \( 1k + 2m + 3x = 45 \)

Решим: Из первого уравнения выразим \( k \): \( k = 23 - m - x \).

Подставим во второе уравнение: \( (23 - m - x) + 2m + 3x = 45 \)

Упростим: \( 23 - m - x + 2m + 3x = 45 \)
\( 23 + m + 2x = 45 \)
\( m + 2x = 22 \)
\( m = 22 - 2x \)

Теперь подставим \( m \) в первое уравнение: \( k + (22 - 2x) + x = 23 \)
\( k + 22 - x = 23 \)
\( k - x = 1 \)

Теперь выразим \( k \): \( k = x + 1 \).

Теперь подставим \( k = x + 1 \) в \( k + m + x = 23 \): \((x + 1) + (22 - 2x) + x = 23\)

Упрощаем: \( x + 1 + 22 - 2x + x = 23 \)
\( 23 = 23 \)

Теперь мы можем заключить, что \( x \) может принимать массу значений.

Разобьем задачу визуально: Из уравнений можно узнать, что когда \( k = 2 \), \( m = 20 \), то \( x \) будет равен 10.

Таким образом, 10 кнопок были нажаты трижды.

Ответ: 10.