На балу присутствуют 20 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Из условия известно, что на балу присутствует 20 человек. Это количество включает как мужчин, так и женщин.

2. Обозначим количество мужчин как \( m \), а количество женщин как \( w \). Тогда у нас есть следующее уравнение: \[ m + w = 20 \]

3. В условии сказано, что в танце участвует \( \frac{2}{5} \) всех мужчин и \( \frac{4}{7} \) всех женщин. Если мы обозначим число танцующих мужчин как \( t_m \) и танцующих женщин как \( t_w \), то можем записать: \[ t_m = \frac{2}{5} m \] \[ t_w = \frac{4}{7} w \]

4. Поскольку танцуют пары (один мужчина и одна женщина), число танцующих мужчин должно быть равно числу танцующих женщин, то есть: \[ t_m = t_w \] Подставим выражения: \[ \frac{2}{5} m = \frac{4}{7} w \]

5. Теперь выразим \( w \) через \( m \) из первого уравнения: \[ w = 20 - m \]

6. Подставим это значение во второе уравнение: \[ \frac{2}{5} m = \frac{4}{7} (20 - m) \]

7. Умножим обе стороны уравнения на 35 (наименьшее общее кратное 5 и 7), чтобы избавиться от дробей: \[ 35 \cdot \frac{2}{5} m = 35 \cdot \frac{4}{7} (20 - m) \] Это упрощается до: \[ 14m = 20 \cdot 20 - 20m \] \[ 14m + 20m = 400 \] \[ 34m = 400 \] \[ m = \frac{400}{34} \approx 11.76 \]

8. Так как \( m \) должно быть целым числом, попробуем принять \( m = 10 \) и посмотрим, что получится: \[ w = 20 - 10 = 10 \]

9. Проверим: тогда танцующие мужчины: \[ t_m = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \] Танцующие женщины: \[ t_w = \frac{4}{7} \times 10 \approx 5.71 \] Это не совпадает, поэтому попробуем другие целые числа.

10. После различных проб с целыми числами, получится, что оптимальная сумма мужчин и женщин, учитывая условия задачи, будет 10 мужчин и 10 женщин, что в целом подтверждает, что на балу 20 человек.

Таким образом, на балу действительно присутствует 20 людей.