Простое число р таково, что для любых а и 6 числа 9а + 86 и а + 76 или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ…

Для того чтобы решить задачу, нам нужно рассмотреть делимость чисел \(9a + 86\) и \(a + 76\) на некоторое простое число \(p\).

По условию, для любых \(a\), либо оба выражения делятся на \(p\), либо оба не делятся на \(p\). Это условие можно переформулировать как: разность \(9a + 86 - 9(a + 76) = 9a + 86 - 9a - 684 = 86 - 684 = -598\) должна быть делима на \(p\). Это означает, что \(598\) должно делиться на \(p\).

Теперь найдем разложение числа \(598\) на простые множители: \[ 598 = 2 \times 299. \] Теперь проверим, является ли \(299\) простым числом. Для этого проверим делимость на числа, меньшие его квадратного корня (примерно \(17.3\)):

• Делим на \(2\): 299 нечетное, не делится.
• Делим на \(3\): сумма цифр \(2+9+9=20\), не делится.
• Делим на \(5\): не завершается на 0 или 5, не делится.
• Делим на \(7\): \(299 \div 7 \approx 42.714\), не делится.
• Делим на \(11\): \(299 \div 11 \approx 27.182\), не делится.
• Делим на \(13\): \(299 \div 13 \approx 23.0\), не делится.
• Делим на \(17\): \(299 \div 17 \approx 17.588\), не делится.

Так как \(299\) не делится ни на одно из этих простых чисел, значит, это простое число.

Теперь мы можем записать простые множители числа \(598\): \[ p \in \{2, 299\}. \]

Подходящие варианты для \(p\):

2
299