В левой верхней клетке прямоугольник клетчатой поляны 10×13 сидят 8 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или в вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетки. Найдите наименьшее количество клеток, непосещёных ни одним жуков.

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим ситуацию более подробно.

У нас есть прямоугольное поле размером 10×13, где жуки начинают с левой верхней клетки (1, 1) и должны добраться в правую нижнюю клетку (10, 13). Жуки могут сделать шаг вправо или вниз.

Когда жуки идут из клетки (1, 1) в клетку (10, 13), каждый жук должен сделать в общей сложности 9 шагов вниз и 12 шагов вправо (всего 21 шаг). Поскольку все 8 жуков движутся одновременно и могут перемещаться независимо, важно учесть, что они могут занимать одни и те же клетки на пути к цели.

Чтобы выяснить, сколько клеток останется непосещенными, мы рассмотрим минимальный маршрут всех жуков. Каждый жук поочередно идет к цели, так как их маршруты могут пересекаться.

Клетки, которые жуки точно посетят, будут находиться в прямоугольнике, образованном начальной и конечной позициями. Таким образом, для 8 жуков, которые движутся, они могут посетить клетки от (1, 1) до (10, 13), что включает все клетки в этом прямоугольном массиве.

Теперь подсчитаем общее количество клеток в поле:

Общее количество клеток = 10 * 13 = 130 клеток.

Кроме того, жуки, начиная с позиции (1, 1), и достигая (10, 13), будут обязательно проходить через все клетки, лежащие между этими двумя уголками, что, вероятно, включает в себя всего несколько клеток. Однако, в силу их количества (8), они будут перемещаться так, чтобы каждый жук эффективно «забирал» как можно больше клеток. Это создаст поток клеток, которые будут посещены.

Чтобы наглядно увидеть, сколько клеток остается непосещенными, обратим внимание на маршрут каждого жука. По заданному маршруту жуки должны пересечь все возможные клетки по горизонтали и вертикали, и в случае оптимизации движения, любые клеточки, что находятся «в пути» между (1, 1) и (10, 13) будут посещены.

Следовательно, минимальное количество клеток, непосещенных ни одним жуком можно определить как:

Общее количество клеток - число клеток, проходящих непосредственно в пути (которые будут по всей видимости равны всем клеткам, так как все жуки должны пройти до конца).

Наименьшее количество непосещённых клеток в этом случае будет равно 0, так как нельзя найти промежутки телефонов, так как все другие клеточки могут быть пересечены всеми жуками в процессе.