Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе -- полностью закрывает. Изначально все бутоны закрыты. Первая волшебница взмахнула палочкой над 117 различными кувшинками, вторая - над 119, а третья - над 113. В результате все цветы раскрылись. Над сколькими кувшинками взмахнули трижды?

Для решения этой задачи нужно понять, как каждая волшебница влияет на состояние кувшинок и какое количество кувшинок было постигнуто каждым из взмахов.

Изначально все 125 кувшинок закрыты. При первом взмахе волшебницы цветки раскрываются, а при повторном взмахе закрываются. Если цветок был открыт и над ним снова взмахнули, он закроется снова. Таким образом, чтобы цветок оказался открытым в конце, над ним должно быть четное число взмахов (включая 0) или же он должен быть открыт только один раз.

Обозначим:

• \(A\) – количество кувшинок, над которыми взмахнула первая волшебница (117),
• \(B\) – количество кувшинок, над которыми взмахнула вторая волшебница (119),
• \(C\) – количество кувшинок, над которыми взмахнула третья волшебница (113).

Теперь важно учитывать кувшинки, которые затрагиваются несколькими волшебницами.

Если суммировать все взмахи: \[ A + B + C = 117 + 119 + 113 = 349. \]

Мы знаем, что всего 125 кувшинок, и они раскрыты после всех взмахов. Это может означать, что на некоторых кувшинках взмахнули несколько раз.

Обозначим количество кувшинок, которые были затронуты трижды как \(x\). Это значит, что оставшиеся кувшинки были затронуты один или дважды.

Так, кувшинки, затронутые один раз, будут оставшимися 125 минус кувшинки, которые взмахнули трижды, и эти кувшинки должны получать только четное количество взмахов, чтобы остаться открытыми.

Находим уравнение: \[ 349 - 2x = 125, \] где \(x\) – количество кувшинок, которые получили три взмаха.

Решим это уравнение: \[ 349 - 125 = 2x, \] \[ 224 = 2x, \] \[ x = 112. \]

Таким образом, над 112 кувшинками волшебницы взмахнули трижды.