на балу присутствует не более 20 человек. они танцуют в парах ( один мужчина и одна женщина). в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. сколько людей…

Для решения задачи давайте обозначим количество мужчин как \(M\) и количество женщин как \(W\). Из условия мы знаем, что на балу присутствует не более 20 человек, то есть:

\[ M + W \leq 20 \]

Также дано, что танцуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин и \( \frac{4}{7} \) всех женщин. Это означает, что количество мужчин, танцующих, равно:

\[ \frac{2}{5}M \]

А количество женщин, танцующих, равно:

\[ \frac{4}{7}W \]

Так как пары составляют один мужчина и одну женщину, количество танцующих мужчин должно равняться количеству танцующих женщин:

\[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W \]

Для удобства мы можем выразить \(M\) через \(W\) или наоборот. Пусть выразим \(M\) через \(W\):

Умножим обе стороны уравнения на 35 (это наименьшее общее кратное 5 и 7) для избавления от дробей:

\[ 35 \cdot \frac{2}{5}M = 35 \cdot \frac{4}{7}W \]

Это даст:

\[ 14M = 20W \]

Теперь выразим \(M\):

\[ M = \frac{20}{14}W \]

Упростим дробь:

\[ M = \frac{10}{7}W \]

Так как \(M\) и \(W\) должны быть целыми числами, \(W\) должно быть кратно 7. Пусть \(W = 7k\), тогда:

\[ M = \frac{10}{7}(7k) = 10k \]

Теперь подставим эти выражения в неравенство \(M + W \leq 20\):

\[ 10k + 7k \leq 20 \] \[ 17k \leq 20 \] \[ k \leq \frac{20}{17} \]

Так как \(k\) должно быть целым числом, максимальное значение для \(k\) равно 1. Подставим \(k = 1\):

\[ W = 7 \cdot 1 = 7 \] \[ M = 10 \cdot 1 = 10 \]

Итак, общее количество людей на балу:

\[ M + W = 10 + 7 = 17 \]

Таким образом, на балу присутствует 17 человек.