Найти наибольшую площадь ромба, сумма длин диагоналей которого равна 12 см

Чтобы найти наибольшую площадь ромба при заданной сумме длин диагоналей, мы можем использовать формулу для площади ромба через диагонали:

\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

где \(d_1\) и \(d_2\) - это длины диагоналей ромба.

Согласно условию, сумма диагоналей равна 12 см:

\[ d_1 + d_2 = 12 \]

Мы можем выразить одну диагональ через другую. Пусть \(d_1 = x\), тогда \(d_2 = 12 - x\). Подставим это в формулу для площади:

\[ S = \frac{x \cdot (12 - x)}{2} = \frac{12x - x^2}{2} = 6x - \frac{x^2}{2} \]

Чтобы найти максимальное значение площади, можно использовать производную. Найдем производную функции площади \(S\):

\[ S' = 6 - x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6 - x = 0 \implies x = 6 \]

Теперь находим вторую производную, чтобы убедиться, что это максимальная точка:

\[ S'' = -1 \]

Поскольку вторая производная отрицательна, это подтверждает, что \(x = 6\) – точка максимума. Подставим \(x\) обратно, чтобы найти длины диагоналей:

\[ d_1 = 6 \text{ см}, \quad d_2 = 12 - 6 = 6 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2 \]

Таким образом, наибольшая площадь ромба, сумма длин диагоналей которого равна 12 см, равна 18 см².