10. При каких значениях х значение производной функции y = 2x ^ 3 - 3x ^ 2 - 12x + 1 равно 0?

Чтобы найти значения \( x \), при которых производная функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) равна 0, сначала необходимо вычислить производную этой функции.

1. Найдём производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(1) \] Вычисляя производные, получаем: \[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]

2. Приравняем производную к нулю: \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

3. Упростим уравнение: Разделим обе стороны уравнения на 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: Уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \) можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Таким образом, значения \( x \), при которых производная функции равна 0, это \( x = 2 \) и \( x = -1 \).