докажи C_(8)^(4)+C_(8)^(3)=C_(9)^(4)
Чтобы доказать равенство \( C_{8}^{4} + C_{8}^{3} = C_{9}^{4} \), где \( C_{n}^{k} \) обозначает биномиальный коэффициент, воспользуемся определением биномиальных коэффициентов:
\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь посчитаем каждую из частей:
- \( C_{8}^{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} \)
- \( C_{8}^{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} \)
- \( C_{9}^{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} \)
Теперь подставим значения и упростим:
Сначала упростим \( C_{9}^{4} \): \[ C_{9}^{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8!}{4! \cdot 5!} \]
Теперь найдем сумму \( C_{8}^{4} + C_{8}^{3} \): \[ C_{8}^{4} + C_{8}^{3} = \frac{8!}{4!4!} + \frac{8!}{3!5!} \]
Теперь приведем к общему знаменателю \( 4!5! \): \[ C_{8}^{4} = \frac{8! \cdot 5}{4! \cdot 5!} \quad \text{и} \quad C_{8}^{3} = \frac{8! \cdot 4}{3! \cdot 4!} \]
Следовательно: \[ C_{8}^{4} + C_{8}^{3} = \frac{5 \cdot 8!}{4!5!} + \frac{4 \cdot 8!}{4!5!} = \frac{(5 + 4) \cdot 8!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8!}{4!5!} \]
Сравнив с \( C_{9}^{4} \): \[ C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8!}{4!5!} \]
Таким образом, мы пришли к выводу, что \( C_{8}^{4} + C_{8}^{3} = C_{9}^{4} \), что и требовалось доказать.
