y=1/(x^2+1) найти критические точки

Чтобы найти критические точки функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \), необходимо выполнить несколько шагов. Критические точки находятся там, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдём производную функции. Используем правило дифференцирования дроби:

\[ y' = \frac{(0)(x^2 + 1) - (1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \]

2. Равняем производную нулю:

\[ \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \]

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю. Таким образом, решаем уравнение:

\[ -2x = 0 \implies x = 0 \]

3. Проверка наличия точек, где производная не существует. В данном случае знаменатель \((x^2 + 1)^2\) никогда не равен нулю, так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех действительных \(x\). Следовательно, не существует точек, где производная не существует.

Итак, единственная критическая точка функции \(y = \frac{1}{x^2 + 1}\) — это \(x = 0\).

4. Нахождение значений функции в критической точке:

\[ y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]

Таким образом, критическая точка имеет координаты \((0, 1)\).