Длины сторон АВ и AD прямоугольника ABCD равны 16 и 27 соответственно. Пусть М — середина стороны CD, и пусть К — такая точка на плоскости, что А — середина отрезка КМ. Найдите…

Рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB = 16, AD = 27. Координаты вершин прямоугольника можно задать следующим образом:

• A(0, 0)
• B(16, 0)
• C(16, 27)
• D(0, 27)

Середина стороны CD, точка M, будет иметь координаты: \[ M = \left( \frac{0 + 16}{2}, \frac{27 + 27}{2} \right) = (8, 27) \]

Пусть K — точка на плоскости, такая что A является серединой отрезка KM. Запишем координаты точки K как (x, y). По определению середины отрезка имеем: \[ A\left( 0, 0 \right) = \left( \frac{x + 8}{2}, \frac{y + 27}{2} \right) \]

Рассмотрим отдельные компоненты:

1. Для координаты x: \[ 0 = \frac{x + 8}{2} \implies x + 8 = 0 \implies x = -8. \]

2. Для координаты y: \[ 0 = \frac{y + 27}{2} \implies y + 27 = 0 \implies y = -27. \]

Таким образом, координаты точки K равны (-8, -27).

Теперь определим координаты точек B и D:

• B(16, 0)
• D(0, 27)

Теперь найдем площадь треугольника KBD, используя формулу площади треугольника по координатам вершин (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3): \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Подставим координаты точек K(-8, -27), B(16, 0) и D(0, 27): \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| -8(0 - 27) + 16(27 + 27) + 0(-27 - 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -8(-27) + 16(54) + 0 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 216 + 864 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1080 \right| = 540. \]

Таким образом, площадь треугольника KBD равна \( 540 \) квадратных единиц.