даны два комплексных числа Z1=(12+2i) и Z2=(3-4i) найдите их сумму разность произведение и частное
Давайте рассмотрим два комплексных числа: \( Z_1 = 12 + 2i \) и \( Z_2 = 3 - 4i \). Мы найдем их сумму, разность, произведение и частное.
Сумма \( Z_1 + Z_2 \): \[ Z_1 + Z_2 = (12 + 2i) + (3 - 4i) = (12 + 3) + (2 - 4)i = 15 - 2i \]
Разность \( Z_1 - Z_2 \): \[ Z_1 - Z_2 = (12 + 2i) - (3 - 4i) = (12 - 3) + (2 + 4)i = 9 + 6i \]
Произведение \( Z_1 \cdot Z_2 \): \[ Z_1 \cdot Z_2 = (12 + 2i)(3 - 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) \] \[ = 36 - 48i + 6i - 8i^2 = 36 - 42i + 8 \quad (\text{так как } i^2 = -1) \] \[ = 36 + 8 - 42i = 44 - 42i \]
Частное \( \frac{Z_1}{Z_2} \): Чтобы найти частное двух комплексных чисел, используем следующее: \[ \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{12 + 2i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(12 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} \] Сначала найдем знаменатель: \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 \] Теперь найдем числитель: \[ (12 + 2i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i = 36 + 48i + 6i - 8 = 36 - 8 + 54i = 28 + 54i \] Теперь подставим в дробь: \[ \frac{28 + 54i}{25} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \]
Сводя итог, мы получили:
- Сумма: \( 15 - 2i \)
- Разность: \( 9 + 6i \)
- Произведение: \( 44 - 42i \)
- Частное: \( \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \)
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
