найти критические точки y=1/(x^2+1)
Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) необходимо сначала найти её производную и определить, где она равна нулю или не определена.
Найдем производную функции \( y \):
Используем правило дифференцирования дроби. Если \( y = \frac{u}{v} \), то производная \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 1 \) и \( v = x^2 + 1 \).
\[ u' = 0, \quad v' = 2x \]
Теперь подставим в формулу:
\[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \]
Теперь находим критические точки, решая уравнение:
\[ y' = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0 \]
Проверим, есть ли другие точки, где производная может быть не определена. Производная \( y' \) не будет определена, если знаменатель равен нулю, но в данном случае \( (x^2 + 1)^2 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 + 1 > 0 \) для всех \( x \).
Таким образом, единственная критическая точка функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) находится в \( x = 0 \).
Теперь можно также подставить \( x = 0 \) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \):
\[ y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]
Итак, критическая точка функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) находится в точке \( (0, 1) \).
