Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник,…

Давай рассмотрим проблему шаг за шагом.

Обозначим длину прямоугольника Даши как \( a \) и ширину как \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши будет равна \( S_D = a \cdot b \).

Теперь посмотрим на прямоугольники Кати и Тани:

• Катя уменьшила длину на 2 и увеличила ширину на 3. Таким образом, её прямоугольник будет иметь размеры \( (a - 2) \) и \( (b + 3) \). Площадь Кати будет \( S_K = (a - 2)(b + 3) \).

• Таня уменьшила длину на 3 и увеличила ширину на 5. Её прямоугольник будет иметь размеры \( (a - 3) \) и \( (b + 5) \). Площадь Тани будет \( S_T = (a - 3)(b + 5) \).

По условию задачи, площади прямоугольников Кати и Тани равны, то есть:

\[ (a - 2)(b + 3) = (a - 3)(b + 5) \]

Теперь упростим это уравнение:

1. Раскроем скобки: \[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

2. Упростим уравнение, убрав \( ab \): \[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]

3. Переносим все термины на одну сторону: \[ 3a - 2b - 6 - 5a + 3b + 15 = 0 \]

4. Упрощаем: \[ -2a + b + 9 = 0 \] То есть: \[ b = 2a - 9 \]

Теперь подставим \( b \) в формулу для периметра прямоугольника Даши, который равен: \[ P = 2(a + b) = 2(a + (2a - 9)) = 2(3a - 9) = 6a - 18 \]

Чтобы найти возможные значения периметра, рассмотрим, чтобы длина и ширина были целыми числами, а также чтобы \( b \) (\( 2a - 9 \)) была положительной: \[ 2a - 9 > 0 \implies 2a > 9 \implies a > 4.5 \] Таким образом, \( a \) должно быть не менее 5.

Теперь подставим целые значения \( a \) и вычислим периметр, чтобы проверить, какие из предложенных значений периметра \( 50, 52, 54, 100, 206 \) соответствуют:

1. Если \( a = 5 \): \[ P = 6(5) - 18 = 30 \quad (не подходит) \]

2. Если \( a = 6 \): \[ P = 6(6) - 18 = 36 \quad (не подходит) \]

3. Если \( a = 7 \): \[ P = 6(7) - 18 = 30 \quad (не подходит) \]

4. Если \( a = 8 \): \[ P = 6(8) - 18 = 30 \quad (не подходит) \]

5. Если \( a = 9 \): \[ P = 6(9) - 18 = 36 \quad (не подходит) \]

6. Если \( a = 10 \): \[ P = 6(10) - 18 = 42 \quad (не подходит) \]

7. Если \( a = 11 \): \[ P = 6(11) - 18 = 48 \quad (не подходит) \]

8. Если \( a = 12 \): \[ P = 6(12) - 18 = 54 \quad (подходит!) \]

9. Если \( a = 13 \): \[ P = 6(13) - 18 = 60 \quad (не подходит) \]

10. Если \( a = 14 \): \[ P = 6(14) - 18 = 66 \quad (не подходит) \]

11. Если \( a = 15 \): \[ P = 6(15) - 18 = 72 \quad (не подходит) \]

12. Если \( a = 16 \): \[ P = 6(16) - 18 = 78 \quad (не подходит) \]

13. Если \( a = 17 \): \[ P = 6(17) - 18 = 84 \quad (не подходит) \]

14. Если \( a = 18 \): \[ P = 6(18) - 18 = 90 \quad (не подходит) \]

15. Если \( a = 19 \): \[ P = 6(19) - 18 = 96 \quad (не подходит) \]

16. Если \( a = 20 \): \[ P = 6(20) - 18 = 102 \quad (не подходит) \]

Мы нашли только одно подходящее значение — \( P = 54 \), когда Dasha нарисовала прямоугольник с длиной 12.

Итак, из предложенных вариантов правильный ответ:

• 54