Даны два комплексных числа Z1=(12+2i) и Z2=(3-4i) найдите их сумму разность произведение и частное

Давайте найдем сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел \( Z_1 = 12 + 2i \) и \( Z_2 = 3 - 4i \).

1. Сумма: \[ Z_1 + Z_2 = (12 + 2i) + (3 - 4i) = (12 + 3) + (2 - 4)i = 15 - 2i \]

2. Разность: \[ Z_1 - Z_2 = (12 + 2i) - (3 - 4i) = (12 - 3) + (2 + 4)i = 9 + 6i \]

3. Произведение: \[ Z_1 \cdot Z_2 = (12 + 2i)(3 - 4i) \] Для нахождения произведения, используем формулу распределения (формулу FOIL): \[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) \] \[ = 36 - 48i + 6i - 8i^2 \] Поскольку \( i^2 = -1 \): \[ = 36 - 48i + 6i + 8 = 44 - 42i \]

4. Частное: Для нахождения частного используем формулу: \[ \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{Z_1 \cdot \overline{Z_2}}{Z_2 \cdot \overline{Z_2}} \] Здесь \( \overline{Z_2} = 3 + 4i \). \[ Z_2 \cdot \overline{Z_2} = (3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 + 16 = 25 \] Теперь находим \( Z_1 \cdot \overline{Z_2} \): \[ Z_1 \cdot \overline{Z_2} = (12 + 2i)(3 + 4i) \] \[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i \] \[ = 36 + 48i + 6i + 8i^2 \] \[ = 36 + 54i - 8 = 28 + 54i \] Теперь подставим в формулу: \[ \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{28 + 54i}{25} = \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \]

Таким образом, мы нашли:

• Сумма: \( 15 - 2i \)
• Разность: \( 9 + 6i \)
• Произведение: \( 44 - 42i \)
• Частное: \( \frac{28}{25} + \frac{54}{25}i \)