Лена нарисовала на плоскости крвадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 8 равных частей каждую. Затем она провела 9 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны на 10 равных частей каждую и провела 9 горизонтальных прямых через точки деления. На сколько частей эти отрезки поделили квадрат

Чтобы решить задачу, сначала давайте разберемся, что именно сделала Лена и как это влияет на квадрат.

1. Нарисованный квадрат: Пусть квадрат имеет вершины \(A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0), D(0, 0)\) в декартовой системе координат.

2. Деление верхней и нижней сторон на 8 равных частей: Это означает, что на стороне \(AB\) (верхняя) и стороне \(CD\) (нижняя) мы получили 8 точек деления:

   • Верхняя сторона: \(P_1(0, 1), P_2(0.125, 1), P_3(0.25, 1), ..., P_8(1, 1)\).
   • Нижняя сторона: \(Q_1(0, 0), Q_2(0.125, 0), Q_3(0.25, 0), ..., Q_8(1, 0)\).

3. Проведение 9 диагональных линий: Лена провела линии от каждой точки на верхней стороне к соответствующей точке на нижней стороне. Каждая из линий будет соединять \(P_i\) с \(Q_i\) для \(i = 1, 2, ..., 8\).

4. Деление левой и правой сторон на 10 равных частей: Это деление создает 10 точек на каждой стороне:

   • Левая сторона: \(R_1(0, 0), R_2(0, 0.1), R_3(0, 0.2), ..., R_{10}(0, 1)\).
   • Правая сторона: \(S_1(1, 0), S_2(1, 0.1), S_3(1, 0.2), ..., S_{10}(1, 1)\).

5. Проведение 9 горизонтальных линий: Лена проведет горизонтальные линии от каждой точки на левой стороне к соответствующей точке на правой стороне \(R_i\) с \(S_i\).

Теперь, чтобы подсчитать на сколько частей квадрат делится, нужно учесть пересечения этих линий.

• Каждая диагональная линия будет пересекать 9 горизонтальных линий.
• Каждая горизонтальная линия будет пересекать 8 диагональных линий.

Всё это позволяет подсчитать количество регионов, образованных пересечениями.

Формула для вычисления количества областей, образованных пересечениями \(m\) горизонтальных и \(n\) вертикальных линий, даёт:

\[ (m + 1)(n + 1) \]

где \(m\) - количество горизонтальных и \(n\) - количество диагональных линий.

6. Таким образом, у нас:

• 9 горизонтальных линий.
• 8 диагональных линий.

И получаем:

\[ (9 + 1)(8 + 1) = 10 \times 9 = 90 \]

Итак, квадрат был разделён на 90 частей.