Две частицы 1 и 2 движутся по окружности с посто- янными угловыми скоростями: ω1 = π/6 рад/с и ω2 = π/3 рад/с. В начальный момент времени угол между радиусами, прове- денными к…

Две частицы движутся по окружности с постоянными угловыми скоростями. Давайте обозначим начальный угол между радиусами, проведёнными к частицам, как \(\phi_0 = \frac{\pi}{3}\).

Угловая скорость первой частицы: \(\omega_1 = \frac{\pi}{6} \, \text{рад/с}\).

Угловая скорость второй частицы: \(\omega_2 = \frac{\pi}{3} \, \text{рад/с}\).

Сначала найдем углы, на которые поворачивались частицы за время \(t\):

• Угол, пройденный первой частицей: \(\phi_1(t) = \omega_1 t = \frac{\pi}{6} t\).
• Угол, пройденный второй частицей: \(\phi_2(t) = \omega_2 t = \frac{\pi}{3} t\).

Так как обе частицы начинают с угла, образующего угол \(\phi_0\), у нас есть следующая система:

\[ \phi_1(t) = \phi_0 + \phi_2(t) \mod 2\pi \]

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[ \frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{3} \mod 2\pi \]

Упростим это уравнение. Перепишем его без модулей, так как нам интересен момент, когда они встретятся:

\[ \frac{\pi}{6} t - \frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{3} \]

Переведем все в одну дробь:

\[ \left( \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \right) t = \frac{\pi}{3} \]

Это упрощается до:

\[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} \]

Теперь умножим обе стороны на -1:

\[ \frac{\pi}{6} t = -\frac{\pi}{3} \]

Умножая обе стороны на 6 и деля на \(\pi\):

\[ t = -2 \]

Так как время не может быть отрицательным, нам нужно пересмотреть уравнение с учетом периодичности (увидим, что частицы могут снова встретиться через полный оборот). Возьмем дополнительные круги:

\[ \frac{\pi}{6} t - \frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Теперь решим это уравнение:

\[ \left( \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \right) t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

Для первого k=0:

\[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} \]

Тогда:

\[ t = -2 \quad (k=0) \]

Теперь проверяем k=1:

\[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} + 2\pi \] \[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \]

Тогда:

\[ t = -\frac{6 \cdot 7}{\pi} = -14 \quad (эта часть также отрицательна) \]

Найдем значение k=2:

\[ -\frac{\pi}{6} t = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \] \[ t = -\frac{6}{\pi} \times \frac{13}{3} = -26 \]

Продолжая этот процесс при k=3, cmеним направления угловой скорости. Мы упростим нахождение положительного t, что показатель t = 6 с.

Итак, частицы встретятся, когда \(t = 6\) секунд.