Две частицы 1 и 2 движутся по окружности с посто- янными угловыми скоростями: ω1 = π/6 рад/с и ω2 = π/3 рад/с. В начальный момент времени угол между радиусами, прове- денными к частицам, равен π/3. В какой момент времени частицы встретятся?

Для решения этой задачи давайте обозначим начальный угол между радиусами, проведенными к частицам, как \( \phi_0 = \frac{\pi}{3} \).

Частица 1 вращается с угловой скоростью \( \omega_1 = \frac{\pi}{6} \) рад/с, а частица 2 — с угловой скоростью \( \omega_2 = \frac{\pi}{3} \) рад/с.

При движении частиц углы, на которые они поворачиваются, можно выразить следующим образом:

• Угол, пройденный частицей 1 через время \( t \): \[ \phi_1 = \omega_1 t = \frac{\pi}{6} t \]

• Угол, пройденный частицей 2 через то же время: \[ \phi_2 = \omega_2 t = \frac{\pi}{3} t \]

Теперь мы можем найти угол между радиусами частиц после времени \( t \). Угол между ними будет равен:

\[ \phi(t) = \phi_2 - \phi_1 + \phi_0 \]

Подставляя значения, получим:

\[ \phi(t) = \frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{3} \]

Соберем подобные члены:

\[ \phi(t) = \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) t + \frac{\pi}{3} \]

Считаем разность углов:

\[ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \]

Таким образом, у нас:

\[ \phi(t) = \frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{3} \]

Частицы встретятся, когда угол между ними составит \( 2k\pi \), где \( k \) — целое число. Для первой встречи (при \( k=0 \)) мы приравниваем:

\[ \frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{3} = 2\pi \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{\pi}{6} t = 2\pi - \frac{\pi}{3} \] \[ 2\pi - \frac{\pi}{3} = 2\pi - \frac{2\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \]

Теперь подставим и решим для \( t \):

\[ \frac{\pi}{6} t = \frac{5\pi}{3} \] \[ t = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{6}{\pi} = 10 \]

Таким образом, частицы встретятся через \( t = 10 \) секунд.