на чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность w. Прямая проходящая через точку D и параллельная AB пересекает w в точке P. Известно, что угол PDC=20° , угол DPB=76° Найдите…

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и отношений в круге.

1. Угол PDC известен и равен 20°. Поскольку D и C лежат на одной стороне угла PDC, то по свойству вписанного угла, угол PAB равен углу PDC. То есть угол PAB тоже равен 20°.

2. Угол DPB равен 76°. У нас есть две важные информации:

   • угол DPB = 76°,
   • угол PAB = 20°.

3. Теперь мы можем найти угол APB: \[ \angle APB = \angle DPB + \angle PAB = 76° + 20° = 96°. \]

4. В круге сумма углов по противоположным сторонам равна 180°. Следовательно, угол AOB (где O — центр окружности) будет равен: \[ \angle AOB = 180° - \angle APB = 180° - 96° = 84°. \]

5. В круге угол AOB в два раза больше угла ACB (вписанного угла): \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 84° = 42°. \]

6. Теперь мы можем перейти к углу ABCD. Поскольку ABCD — это четырёхугольник, вписанный в окружность, сумма углов ABC и ADC должна быть равна 180°. Угол ADC равен углу ACB (если рассматриваем стороны AB и CD), следовательно: \[ \angle ADC = \angle ACB = 42°. \]

7. Таким образом, мы можем найти угол ABC: \[ \angle ABC = 180° - \angle ADC = 180° - 42° = 138°. \]

Ответ: угол ABCD равен 138°.