А(0;1;-1) В(1;-1;2) С(3;1;0) D(2;-3;1) Найти косинус (АВиСD)

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \), сначала вычислим координаты этих векторов.

1. Вычисление векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

   Вектор \( \overrightarrow{AB} \) можно найти, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( B \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0; -1 - 1; 2 - (-1)) = (1; -2; 3) \]

   Вектор \( \overrightarrow{CD} \) вычисляется аналогично: \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (2 - 3; -3 - 1; 1 - 0) = (-1; -4; 1) \]

2. Находим скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

   Скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \) вычисляется по формуле: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-4) + (3) \cdot (1) \] \[ = -1 + 8 + 3 = 10 \]

3. Находим длину векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

   Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]

   Длина вектора \( \overrightarrow{CD} \): \[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} \]

4. Находим косинус угла между векторами:

   Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами рассчитывается по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} \] Подставим найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{10}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{18}} = \frac{10}{\sqrt{252}} = \frac{10}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{3\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{21} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равен \( \frac{5\sqrt{7}}{21} \).