Камень, брошенный вертикально вверх, дважды побывал на одной и той же высоте – спустя t1 = 0,8 с и t2 = 1,5 с после начала движения. Чему равна эта высота и с какой скоростью был…
Камень, брошенный вертикально вверх, дважды побывал на одной и той же высоте – спустя t1 = 0,8 с и t2 = 1,5 с после начала движения. Чему равна эта высота и с какой скоростью был брошен камень?
Чтобы решить эту задачу, давайте используем уравнения движения мячика, брошенного вертикально вверх.
- Мы знаем, что высота \( h \) в любой момент времени \( t \) может быть определена следующим уравнением:
\[ h(t) = v_0 \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^2 \]
где:
- \( h(t) \) — высота в момент времени \( t \),
- \( v_0 \) — начальная скорость,
- \( g \) — ускорение свободного падения, примерно равно \( 9,81 \, \text{м/с}^2 \).
- Поскольку мы знаем, что камень дважды достигает одной и той же высоты \( h \) в момент времени \( t_1 = 0,8 \, \text{с} \) и \( t_2 = 1,5 \, \text{с} \), можно записать два уравнения для высоты:
\[ h(t_1) = v_0 \cdot t_1 - \frac{g}{2} \cdot t_1^2 \] \[ h(t_2) = v_0 \cdot t_2 - \frac{g}{2} \cdot t_2^2 \]
- Поскольку высоты равны, мы можем приравнять эти два уравнения:
\[ v_0 \cdot t_1 - \frac{g}{2} \cdot t_1^2 = v_0 \cdot t_2 - \frac{g}{2} \cdot t_2^2 \]
- Упростим это уравнение, выразив \( v_0 \):
\[ v_0 \cdot t_1 - v_0 \cdot t_2 = \frac{g}{2} \cdot t_2^2 - \frac{g}{2} \cdot t_1^2 \]
\[ v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2} (t_2^2 - t_1^2) \]
- Используем разность квадратов:
\[ t_2^2 - t_1^2 = (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) \]
Тогда у нас:
\[ v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2} (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) \]
- Растянем это уравнение:
\[ v_0 = \frac{\frac{g}{2} (t_2 + t_1)}{t_2 - t_1} \]
- Подставим известные значения:
\[ t_1 = 0,8 \, \text{с}, \quad t_2 = 1,5 \, \text{с}, \quad g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \]
\[ v_0 = \frac{\frac{9,81}{2} (1,5 + 0,8)}{1,5 - 0,8} = \frac{4,905 \cdot 2,3}{0,7} \approx \frac{11,2815}{0,7} \approx 16,1 \, \text{м/с} \]
- Теперь можем найти высоту \( h \). Подставим значение \( v_0 \) в одно из уравнений, например, для \( t_1 = 0,8 \):
\[ h = 16,1 \cdot 0,8 - \frac{9,81}{2} \cdot (0,8)^2 \]
\[ h \approx 12,88 - 3,136 = 9,744 \, \text{м} \]
Таким образом, начальная скорость, с которой был брошен камень, составляет примерно \( 16,1 \, \text{м/с} \), а высота, на которую он поднимался, — примерно \( 9,74 \, \text{м} \).
