В левой верхней клетке прямоугольный клетчатой поляны 10×12 сидят 7 жуков . За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз . Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток на посещенных ни одним жуком.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим, сколько шагов требуется жукам для передвижения из левой верхней клетки в правую нижнюю.
На клетчатом поле размером 10×12, левая верхняя клетка находится в координатах (1, 1), а правая нижняя клетка - в (10, 12). Чтобы добраться от первой клетки до последней, жуку нужно сделать следующие шаги:
- Переместиться на 9 клеток вниз (из 1 в 10), что требует 9 шагов.
- Переместиться на 11 клеток вправо (из 1 в 12), что требует 11 шагов.
Таким образом, каждому жуке нужно выполнить 9 + 11 = 20 шагов. Обратите внимание, что все жуки могут перемещаться одновременно.
Теперь давайте проанализируем количество клеток, которые могут быть посещены жуками. Каждый жук, в своем пути к правой нижней клетке, будет проходить через разные клетки. Однако, так как жукам нужно идти вниз и вправо, пути жуков будут перекрываться.
Чтобы минимизировать количество непосещенных клеток, важно определить, какие клетки будут посещены. Мы заметим, что жуки должны обязательно пройти через все клетки в прямоугольном пути, ограниченном верхней границей и левой границей.
Наименьшее количество клеток, которое не будет посещено жука должна содержать те клетки, которые находятся выше 9-й строки и левее 11-го столбца. То есть, каждая клетка ниже 10-й строки и правее 12-го столбца будет посещена.
Теперь посчитаем:
Клетки, которые находятся в пределах 10×12 поля, составляют 120 клеток. Клетки, которые не будут посещены - это те, которые находятся в первых 9 строках и первых 11 столбцах.
Количество клеток в верхнем левом углу области 9×11 = 9 * 11 = 99 клеток.
Таким образом, минимальное количество клеток, которые не будут посещены ни одним жуком, составляет:
120 (всего клеток) - 99 (посещенные клетки) = 21 клетка.
Следовательно, наименьшее количество клеток, которое не будет посещено ни одним жуком, составляет 21 клетку.
