на балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах .В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин и 1/5 всех женщин.Сколько людей присутствует на балу

Для решения этой задачи давайте введем обозначения:

• Пусть \( M \) — общее количество мужчин на балу.
• Пусть \( W \) — общее количество женщин на балу.
• Общее количество людей на балу тогда будет \( M + W \).

Согласно условию, на балу присутствует не более 25 человек, то есть: \[ M + W \leq 25 \]

В задаче сказано, что танцуют \( \frac{2}{3} \) всех мужчин и \( \frac{1}{5} \) всех женщин. Значит, количество пар, танцующих на балу, можно выразить как: \[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{2} \text{(количество пар)} \] и \[ \frac{1}{5}W = \frac{1}{2} \text{(количество пар)} \]

Можно приравнять количество пар, получив следующее уравнение: \[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}W \]

Теперь избавимся от дробей. Умножим обе стороны на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5): \[ 10M = 3W \]

Теперь выразим \( W \) через \( M \): \[ W = \frac{10}{3}M \]

Теперь подставим это выражение в неравенство \( M + W \leq 25 \): \[ M + \frac{10}{3}M \leq 25 \] \[ \frac{13}{3}M \leq 25 \]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от деления: \[ 13M \leq 75 \] \[ M \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \]

Таким образом, \( M \) может быть максимальным 5 (поскольку количество мужчин — целое число).

Теперь подставим \( M = 5 \) обратно, чтобы найти \( W \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \]

Поскольку количество женщин также должно быть целым числом, то давайте проверить \( M = 5 \) более внимательно:

• Если \( M = 5 \), \( W \) должно быть \( 15 \) (чтобы общее количество людей было 20).

Теперь посмотрим, подходит ли это:

• Пары танцующих мужчин: \( \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \) (не целое).
• Попробуем \( M = 3 \) и \( W = 12 \).

Подставим это:

• Пары танцующих мужчин: \( \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \).
• Пары танцующих женщин: \( \frac{1}{5} \cdot 12 = \frac{12}{5} = 2.4 \) (не подходит).

Если попробуем \( M = 4 \) и \( W = 11 \):

• Пары танцующих мужчин: \( \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3} \) (не целое).

Таким образом, на балу присутствует 20 человек (3 мужчины и 15 женщин), проверим в таком расчете: Количество мужчин: 3: \( \frac{2}{3}*3 = 2 \) Количество женщин: 15: \( \frac{1}{5}*15 = 3 \)

На балу 20 человек, что соответствует условиям.