Пусть n > 2024 - натуральное число. на доске написаны натуральные числа от 2024 до n. за одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разносит, тем самым уменьшая количество чисел на доске. черещ некоторое время на доске останется только одно число. сколько существует натуральных n<10000, для которых это число будет равно 0
Для решения задачи сначала отметим, что операция, которую выполняет робот, заключается в замене двух наибольших чисел на их разность. Это значит, что если мы возьмём два числа \( a \) и \( b \) (где \( a > b \)), то после операции на доске останется только число \( a - b \).
Основное наблюдение здесь заключается в том, что в процессе выполнения операций сумма всех чисел на доске будет уменьшаться на чётное количество единиц (каждый раз, когда выполняется операция, сумма уменьшается на \( a + b - (a - b) = 2b \), что является чётным числом).
Теперь, чтобы узнать, при каких \( n \) остается последнее число 0, полезно рассмотреть сумму всех чисел от 2024 до \( n \). Сумма \( S \) всех натуральных чисел от 2024 до \( n \) рассчитывается по формуле:
\[ S = \frac{(n - 2024 + 1)(2024 + n)}{2} \]
Для того чтобы в конечном итоге число стало 0, сумма \( S \) должна быть кратна 2, поскольку итоговое число, оставшееся после всех операций, определяется парностью суммы. То есть оно может стать 0 только если сумма \( S \) чётная.
Давайте выясним, при каких \( n \) сумма является чётной. При \( n \) от 2024 до 9999, нам нужно проанализировать следующую ситуацию:
- Если \( n \) — чётное, то \( n + 2024 \) — чётное → \( S \) является чётным, так как \( (n - 2024 + 1) \) нечетно.
- Если \( n \) — нечётное, то \( n + 2024 \) — нечётное → \( S \) будет нечётным, так как \( (n - 2024 + 1) \) будет чётным.
Следовательно, для того чтобы итоговое число было равно 0, необходимо, чтобы \( n \) было чётным.
Теперь мы считаем количество чётных \( n \) в диапазоне от 2024 до 9999. Чётные числа начинаются от 2024 и заканчиваются на 9998.
Сначала находим количество чётных чисел в этом диапазоне:
- Наименьшее чётное число: 2024.
- Наибольшее чётное число: 9998.
Чётные числа формируют арифметическую последовательность \( 2024, 2026, \dots, 9998 \), где первый член \( a_1 = 2024 \) и последний член \( a_k = 9998 \) с разностью \( d = 2 \).
Количество членов \( n \) в этой последовательности можно найти по формуле:
\[ n = \frac{a_k - a_1}{d} + 1 = \frac{9998 - 2024}{2} + 1 = \frac{7974}{2} + 1 = 3987 + 1 = 3988. \]
Таким образом, существует 3988 натуральных чисел \( n \) меньше 10000, для которых последнее число будет равно 0.
