Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник,…

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

Обозначим длину прямоугольника Даши как \( a \), а ширину как \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши равна \( S_D = a \cdot b \).

Теперь рассмотрим прямоугольники Кати и Тани:

1. Прямоугольник Кати:

   • Длина: \( a - 1 \)
   • Ширина: \( b + 3 \)
   • Площадь: \[ S_K = (a - 1)(b + 3) = ab + 3a - b - 3 \]

2. Прямоугольник Тани:

   • Длина: \( a - 3 \)
   • Ширина: \( b + 6 \)
   • Площадь: \[ S_T = (a - 3)(b + 6) = ab + 6a - 3b - 18 \]

По условию задачи площади этих прямоугольников равны: \[ S_K = S_T \] Подставим площади: \[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18 \]

Упростим уравнение: \[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18 \] \[ 3b - 3 = 3a - 18 \] \[ 3b = 3a - 15 \] \[ b = a - 5 \]

Теперь подставим выражение для \( b \) в формулу периметра прямоугольника Даши. Периметр \( P \) равен: \[ P = 2(a + b) = 2(a + (a - 5)) = 2(2a - 5) = 4a - 10 \]

Теперь мы можем выразить возможные значения \( a \) в зависимости от периметра: \[ P + 10 = 4a \Rightarrow a = \frac{P + 10}{4} \]

Теперь проверим предложенные периметры (56, 72, 76, 90, 292):

1. \( P = 56 \): \[ a = \frac{56 + 10}{4} = \frac{66}{4} = 16.5 \quad (\text{не целое}) \]

2. \( P = 72 \): \[ a = \frac{72 + 10}{4} = \frac{82}{4} = 20.5 \quad (\text{не целое}) \]

3. \( P = 76 \): \[ a = \frac{76 + 10}{4} = \frac{86}{4} = 21.5 \quad (\text{не целое}) \]

4. \( P = 90 \): \[ a = \frac{90 + 10}{4} = \frac{100}{4} = 25 \quad (\text{целое, } b = 25 - 5 = 20) \]

5. \( P = 292 \): \[ a = \frac{292 + 10}{4} = \frac{302}{4} = 75.5 \quad (\text{не целое}) \]

Таким образом, возможное значение периметра прямоугольника Даши – это только 90.