Составить уравнение окружности, проходящей через A(3;1); B(-2;6); C(-5;-3)
Чтобы составить уравнение окружности, проходящей через три заданные точки A(3;1), B(-2;6) и C(-5;-3), нам необходимо использовать общее уравнение окружности в виде:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]
где \((x_0, y_0)\) — центр окружности, а \(r\) — её радиус. Однако, поскольку у нас есть три точки, нам нужно выразить это уравнение в форме, которая включает все три точки.
Общее уравнение окружности также можно записать как:
\[x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\]
где D, E и F — постоянные, которые мы должны определить.
Подставим координаты каждой из точек в это уравнение. Мы получим три уравнения:
Для точки A(3;1): \[ 3^2 + 1^2 + 3D + 1E + F = 0 \implies 9 + 1 + 3D + E + F = 0 \implies 3D + E + F = -10 \quad (1) \]
Для точки B(-2;6): \[ (-2)^2 + 6^2 - 2D + 6E + F = 0 \implies 4 + 36 - 2D + 6E + F = 0 \implies -2D + 6E + F = -40 \quad (2) \]
Для точки C(-5;-3): \[ (-5)^2 + (-3)^2 - 5D - 3E + F = 0 \implies 25 + 9 - 5D - 3E + F = 0 \implies -5D - 3E + F = -34 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трёх линейных уравнений:
- \(3D + E + F = -10\)
- \(-2D + 6E + F = -40\)
- \(-5D - 3E + F = -34\)
Решим эту систему. Выразим \(F\) из первого уравнения:
\[ F = -10 - 3D - E \quad (4) \]
Теперь подставим \(F\) из уравнения (4) во второе уравнение:
\[ -2D + 6E - 10 - 3D - E = -40 \] \[ -5D + 5E - 10 = -40 \] \[ -5D + 5E = -30 \implies -D + E = -6 \implies E = D - 6 \quad (5) \]
Теперь подставим \(F\) и \(E\) из (4) и (5) в третье уравнение:
\[ -5D - 3(D - 6) - 10 - 3D - (D - 6) = -34 \]
Упрощаем:
\[ -5D - 3D + 18 - 10 - 3D - D + 6 = -34 \implies -12D + 14 = -34 \] \[ -12D = -34 - 14 \implies -12D = -48 \implies D = 4 \]
Теперь подставим значение \(D\) в уравнение (5):
\[ E = 4 - 6 = -2 \]
Теперь подставим \(D\) и \(E\) в (4) для нахождения \(F\):
\[ F = -10 - 3(4) - (-2) = -10 - 12 + 2 = -20 \]
Итак, мы получили:
\[ D = 4, \quad E = -2, \quad F = -20. \]
Таким образом, уравнение окружности имеет вид:
\[ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 20 = 0. \]
Это и есть искомое уравнение окружности, проходящей через заданные точки A, B и C.
