даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой треугольник, уменьшив длину Дашинского один и увеличив ширину на три. Таня тоже нарисовала свой…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Обозначим стороны прямоугольника Даши как \( a \) (длину) и \( b \) (ширину). Тогда площадь прямоугольника Даши равна:

\[ S_D = a \cdot b. \]

Теперь посмотрим на треугольник Кати. Она уменьшила длину Дашинского прямоугольника на 1 и увеличила ширину на 3:

• Длина: \( a - 1 \)
• Ширина: \( b + 3 \)

Площадь Кати будет:

\[ S_C = (a - 1)(b + 3). \]

Теперь о прямоугольнике Тани. Она уменьшила длину Дашинского на 3 и увеличила ширину на 6:

• Длина: \( a - 3 \)
• Ширина: \( b + 6 \)

Площадь Тани будет:

\[ S_T = (a - 3)(b + 6). \]

Теперь согласно условию задачи площади прямоугольников Кати и Тани равны:

\[ S_C = S_T. \]

Подставим значения:

\[ (a - 1)(b + 3) = (a - 3)(b + 6). \]

Распишем уравнение:

\[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18. \]

Упростим его:

\[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18. \]

Соберем все элементы в одну сторону:

\[ 0 = 6a - 3a - 3b + b + 18 - 3. \]

Это упростится до:

\[ 0 = 3a - 2b + 15. \]

Теперь выразим \( b \):

\[ 2b = 3a + 15 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3a + 15}{2}. \]

Теперь, чтобы площадь была целым числом, \( b \) должно быть целым. Поскольку \( a \) и \( b \) целые, \( 3a + 15 \) должно быть четным числом, то есть \( a \) должно быть четным числом.

Теперь найдем возможные значения периметра \( P \) прямоугольника Даши:

\[ P = 2(a + b) = 2(a + \frac{3a + 15}{2}) = 2 \cdot \frac{5a + 15}{2} = 5a + 15. \]

Теперь подставим возможные значения для \( P \) и посмотрим, при каких значениях \( P \) \(a\) будет целым и четным:

• Для \( P = 56 \): \[ 5a + 15 = 56 \quad \Rightarrow \quad 5a = 41 \quad \Rightarrow \quad a = 8.2 \quad (\text{не подходит}). \]

• Для \( P = 72 \): \[ 5a + 15 = 72 \quad \Rightarrow \quad 5a = 57 \quad \Rightarrow \quad a = 11.4 \quad (\text{не подходит}). \]

• Для \( P = 76 \): \[ 5a + 15 = 76 \quad \Rightarrow \quad 5a = 61 \quad \Rightarrow \quad a = 12.2 \quad (\text{не подходит}). \]

• Для \( P = 90 \): \[ 5a + 15 = 90 \quad \Rightarrow \quad 5a = 75 \quad \Rightarrow \quad a = 15 \quad (\text{подходит}). \]

• Для \( P = 292 \): \[ 5a + 15 = 292 \quad \Rightarrow \quad 5a = 277 \quad \Rightarrow \quad a = 55.4 \quad (\text{не подходит}). \]

Таким образом, единственное возможное значение периметра прямоугольника Даши, которое подходит под условия задачи, это:

90.