(5^log3 по основанию 2)^log5 по основанию 2

Чтобы упростить выражение \( (5^{\log_3 2})^{\log_5 2} \), давайте пошагово разберем его:

1. Первое, что мы можем сделать, это использовать свойства логарифмов и степеней. Мы знаем, что \( (a^b)^c = a^{b \cdot c} \). Таким образом, можем переписать выражение:

   \[ (5^{\log_3 2})^{\log_5 2} = 5^{\log_3 2 \cdot \log_5 2} \]

2. Далее, применим свойство логарифмов, которое гласит, что \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \). В нашем случае \( a = 3 \), \( b = 2 \), и \( c = 5 \). Теперь мы можем переписать произведение логарифмов:

   \[ \log_3 2 \cdot \log_5 2 = \log_5 2 \cdot \log_3 2 = \log_3 5 \]

3. Подставим это обратно в выражение:

   \[ 5^{\log_3 2 \cdot \log_5 2} = 5^{\log_3 5} \]

4. Так как \( 5^{\log_3 5} = 3 \) (по свойству логарифмов), теперь мы можем записать окончательный ответ:

   \[ 5^{\log_3 5} = 3 \]

Таким образом, значение выражения \( (5^{\log_3 2})^{\log_5 2} \) равно \( 3 \).