Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из шести карточек: 1, 4, 5, 6, 7, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того,…
Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из шести карточек: 1, 4, 5, 6, 7, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках - простое число.
Чтобы произведение чисел на карточках было простым числом, нужно, чтобы ровно одно из выбранных чисел было простым, а остальные — единицей.
Из набора карточек: \(1, 4, 5, 6, 7, 13\) простыми являются числа: \(5, 7, 13\). Число \(1\) не влияет на произведение и может быть использовано, но числа \(4\) и \(6\) являются составными.
Теперь давайте рассмотрим все возможные случаи выбора карточек, которые могут дать простое произведение:
Выбор числа \(5\):
- Остальные числа должны быть \(1\).
- Возможные комбинации: \((5, 1, 1)\).
Выбор числа \(7\):
- Остальные числа должны быть \(1\).
- Возможные комбинации: \((7, 1, 1)\).
Выбор числа \(13\):
- Остальные числа должны быть \(1\).
- Возможные комбинации: \((13, 1, 1)\).
Таким образом, чтобы произведение было простым числом, нас интересует выбор одной из простых карточек, а остальные должны быть равны единицам. Нам нужно выбрать 1 простое число и 2 единицы, и варианты следующие:
- Если выбрали \(5\), то комбинация будет \( (5, 1, 1) \).
- Если выбрали \(7\), то комбинация будет \( (7, 1, 1) \).
- Если выбрали \(13\), то комбинация будет \( (13, 1, 1) \).
Теперь переходим к вычислению вероятности.
Общее число способов, которыми Пета, Вася и Толя могут выбрать карточки: \[ 6 \times 6 \times 6 = 216. \]
Согласно правилам комбинаторики, у нас есть:
- 3 способа (выбрать \(5\), \(7\) или \(13\)),
- И в каждом случае один из участников выбирает простое число, а другие — \(1\).
Таким образом, есть по 1 возможности для 2-х участников, что дает: \[ 3 \text{ (числа)} \times 5 \text{(оставшиеся варианты)}^2 = 3 \times 1^2 = 3. \]
Вероятность того, что произведение чисел на карточках - простое число: \[ P = \frac{\text{число случаев, когда произведение - простое}}{\text{общее число случаев}} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}. \]
Итак, вероятность того, что произведение чисел на карточках - простое число составляет \(\frac{1}{72}\).
