Из клетчатого квадрата 8 х 8 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения задачи нужно понять, как равномерно разбить оставшуюся фигуру на квадраты размером 1x1 и 2x2, поскольку условия говорят, что квадратов каждого типа должно быть поровну.

1. Определение общей площади: Квадрат 8x8 имеет площадь 64 клеток.

2. Пусть количество квадратов 1x1 равно \( x \), а количество квадратов 2x2 также равно \( x \). Площадь, занимаемая квадратами 1x1, будет равна \( x \), а площадь, занимаемая квадратами 2x2, будет равна \( 4x \) (так как 2x2 квадрат занимает 4 клетки).

3. Общая площадь, занимаемая этими квадратами: \[ x + 4x = 5x \]

4. Уравнение для оставшейся площади: Мы знаем, что оставшаяся площадь после вырезания клеток должна составлять \( 64 - k \), где \( k \) — количество вырезанных клеток. Таким образом, у нас есть: \[ 64 - k = 5x \]

5. Вычисление вероятных значений: Поскольку \( k \) должно быть неотрицательным и меньше или равно 64, а \( x \) должно быть целым числом, мы можем выразить \( k \) через \( x \): \[ k = 64 - 5x \]

6. Поиск целых решений: Для \( k \) быть неотрицательным: \[ 64 - 5x \geq 0 \] Решаем неравенство: \[ x \leq \frac{64}{5} = 12.8 \] Поскольку \( x \) – целое число, максимальное значение \( x \) равно 12.

7. Определение возможных значений \( k \): Если \( x \) принимает значения от 0 до 12, то подставляем их в уравнение \( k = 64 - 5x \):

   • \( x = 0 \): \( k = 64 - 0 = 64 \)
   • \( x = 1 \): \( k = 64 - 5 = 59 \)
   • \( x = 2 \): \( k = 64 - 10 = 54 \)
   • \( x = 3 \): \( k = 64 - 15 = 49 \)
   • \( x = 4 \): \( k = 64 - 20 = 44 \)
   • \( x = 5 \): \( k = 64 - 25 = 39 \)
   • \( x = 6 \): \( k = 64 - 30 = 34 \)
   • \( x = 7 \): \( k = 64 - 35 = 29 \)
   • \( x = 8 \): \( k = 64 - 40 = 24 \)
   • \( x = 9 \): \( k = 64 - 45 = 19 \)
   • \( x = 10 \): \( k = 64 - 50 = 14 \)
   • \( x = 11 \): \( k = 64 - 55 = 9 \)
   • \( x = 12 \): \( k = 64 - 60 = 4 \)

Таким образом, возможные значения для количества вырезанных клеток \( k \) равны: 64, 59, 54, 49, 44, 39, 34, 29, 24, 19, 14, 9, 4.

Поскольку вырезанные клетки расположены в углах, максимальное число вырезанных клеток, которое при этом оставляет возможность равномерно разбить оставшуюся фигуру на квадраты 1x1 и 2x2, должно быть среди перечисленных.