X⁴-8x²-9=0

Чтобы решить уравнение \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\), давайте сделаем замену переменной. Подставим \(y = x^2\). Тогда уравнение можно переписать как:

\[y^2 - 8y - 9 = 0.\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -9\).

Подставим значения в формулу:

\[y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2}.\]

Поскольку \(\sqrt{100} = 10\), получаем:

\[y = \frac{8 \pm 10}{2}.\]

Теперь найдем два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{18}{2} = 9\)
2. \(y_2 = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь помним, что мы делали замену: \(y = x^2\). Таким образом, у нас есть:

1. \(x^2 = 9\) \(\Rightarrow x = \pm 3\)
2. \(x^2 = -1\) \(\Rightarrow x = \pm i\) (где \(i\) — мнимая единица).

Итак, окончательные решения уравнения:

\(x = 3\), \(x = -3\), \(x = i\), \(x = -i\).

Таким образом, мы нашли все возможные значения переменной \(x\). Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимости в разъяснении, не стесняйтесь задавать их!