Друзья-рыболовы собрались на зимнюю рыбалку, и каждый сделал по 5 прорубей. Рыболов, которого они встретили на реке, сделал меньшее количество прорубей, но оказалось, что абсолютно из каждой проруби было поймано поровну рыб по 12 штук. Всего было выловлено 744 рыбы. Сколько прорубей сделал рыболов, встреченный друзьями на реке?

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Определим количество прорубей, которые сделали друзья-рыболовы. Предположим, что друзей было \( n \) человек. Каждый сделал по 5 прорубей, значит, общее количество прорубей, сделанных друзьями, равно \( 5n \).

2. Определим, сколько рыбы поймали они. Из условия задачи известно, что из каждой проруби они поймали по 12 рыб. Таким образом, общее количество пойманной рыбы друзьями будет: \[ 12 \times (5n) = 60n. \]

3. Учитываем пойманную рыбу. Всего было выловлено 744 рыбы, и мы знаем, что рыболов, которого встретили друзья, поймал столько же рыбы из каждой своей проруби. Обозначим количество прорубей, которые сделал встреченный рыболов, как \( m \). Тогда общее количество пойманной рыбы этим рыболовом будет: \[ 12m. \]

4. Составим уравнение. Поскольку суммарно у всех рыболовов было поймано 744 рыбы, можно записать уравнение: \[ 60n + 12m = 744. \]

5. Упростим это уравнение. Разделим всё уравнение на 12: \[ 5n + m = 62. \]

6. Решим его. Нам нужно выразить \( m \) через \( n \): \[ m = 62 - 5n. \]

7. Обратите внимание, что \( m \) должно быть неотрицательным. Это значит, что: \[ 62 - 5n \geq 0. \] То есть: \[ 62 \geq 5n \quad \Rightarrow \quad n \leq 12.4. \] Поскольку \( n \) должно быть целым числом, максимальное возможное значение \( n \) — это 12.

8. Теперь подберем целые значения \( n \) и будем вычислять соответствующее \( m \).

   • Если \( n = 12 \): \[ m = 62 - 5 \times 12 = 62 - 60 = 2. \]
   • Если \( n = 11 \): \[ m = 62 - 5 \times 11 = 62 - 55 = 7. \]
   • Если \( n = 10 \): \[ m = 62 - 5 \times 10 = 62 - 50 = 12. \]
   • Если \( n = 9 \): \[ m = 62 - 5 \times 9 = 62 - 45 = 17. \]
   • Если \( n = 8 \): \[ m = 62 - 5 \times 8 = 62 - 40 = 22. \]
   • Если \( n = 7 \): \[ m = 62 - 5 \times 7 = 62 - 35 = 27. \]
   • Если \( n = 6 \): \[ m = 62 - 5 \times 6 = 62 - 30 = 32. \]
   • Если \( n = 5 \): \[ m = 62 - 5 \times 5 = 62 - 25 = 37. \]
   • Если \( n = 4 \): \[ m = 62 - 5 \times 4 = 62 - 20 = 42. \]
   • Если \( n = 3 \): \[ m = 62 - 5 \times 3 = 62 - 15 = 47. \]
   • Если \( n = 2 \): \[ m = 62 - 5 \times 2 = 62 - 10 = 52. \]
   • Если \( n = 1 \): \[ m = 62 - 5 \times 1 = 62 - 5 = 57. \]
   • Если \( n = 0 \): \[ m = 62 - 5 \times 0 = 62. \]

Мы видим, что количество прорубей, которые сделал рыболов, может варьироваться в зависимости от числа друзей \( n \). Однако самое оптимальное значение для нас — это то, при котором друзей больше всего.

Итак, если друзья собрались в количестве 12, то рыболов сделал 2 проруби.