Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка AP, PQ и QB так, что AP=2PQ=2QB .найдите расстояние между точкой A и серединой отрезка QB

Для решения задачи обозначим длины отрезков:

• Пусть \( AP = x \).
• Тогда \( PQ \) будет равно \( \frac{x}{2} \) (по условию \( AP = 2PQ \)).
• Длина отрезка \( QB \) также будет равна \( \frac{x}{2} \) (поскольку \( PQ = QB \)).

Теперь запишем все длины:

1. \( AP = x \)
2. \( PQ = \frac{x}{2} \)
3. \( QB = \frac{x}{2} \)

Суммируя эти длины, получим:

\[ AB = AP + PQ + QB = x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x + x = 2x \]

По условию задачи \( AB = a \), значит можно записать равенство:

\[ 2x = a \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a}{2} \]

Теперь подставим значение \( x \) для всех отрезков:

1. \( AP = \frac{a}{2} \)
2. \( PQ = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4} \)
3. \( QB = \frac{a}{4} \)

Теперь найдём точку \( Q \) и середину отрезка \( QB \).

1. Точка \( P \):

   • \( AP = \frac{a}{2} \), значит \( P \) делит \( AB \) на \( A \) и \( P \), и её координата от точки \( A \) будет \( \frac{a}{2} \).

2. Точка \( Q \):

   • Длина отрезка \( PQ = \frac{a}{4} \); значит координата точки \( Q \) от точки \( A \): \[ AQ = AP + PQ = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{2a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4} \]

3. Середина отрезка \( QB \):

   • Длина \( QB = \frac{a}{4} \); следовательно, от точки \( Q( \frac{3a}{4} ) \) до точки \( B(a) \):
   • Координата точки \( B = a \), тогда середина отрезка \( QB \) будет:

   \[ S = \frac{Q + B}{2} = \frac{\frac{3a}{4} + a}{2} = \frac{\frac{3a}{4} + \frac{4a}{4}}{2} = \frac{\frac{7a}{4}}{2} = \frac{7a}{8} \]

Теперь находим расстояние между точкой \( A(0) \) и серединой отрезка \( QB \):

\[ AS = S - A = \frac{7a}{8} - 0 = \frac{7a}{8} \]

Таким образом, расстояние между точкой \( A \) и серединой отрезка \( QB \) равно \( \frac{7a}{8} \).