Фигура состоит из трех различных квадратов со сторонами a, b, a+b сантиметров, причем a, b — целые положительные числа и a

Для решения задачи начнем с вычисления периметра фигуры. Фигура состоит из трех квадратов со сторонами \( a \), \( b \), и \( a + b \). Периметр этих квадратов будет учитывать только внешние стороны, поэтому давайте разберемся с этим подробнее.

1. Периметр квадрата со стороной \( a \) равен \( 4a \).
2. Периметр квадрата со стороной \( b \) равен \( 4b \).
3. Периметр квадрата со стороной \( a + b \) равен \( 4(a + b) = 4a + 4b \).

Однако, для подсчета внешнего периметра нам необходимо учитывать, как расположены квадраты относительно друг друга. Предположим, что квадраты расположены в ряд и имеют общую сторону. Фактически, внешние стороны формы, состоящей из этих квадратов, будут следующие:

• Две стороны квадрата со стороной \( a \) (внешние верхняя и нижняя),
• Две стороны квадрата со стороной \( b \) (внешние боковые),
• Одна сторона квадрата со стороной \( a + b \) (можно считать общую сторону).

Таким образом, периметр фиксируется как:

\[ P = 2a + 2b + (a + b) = 3a + 3b. \]

По условию задачи, периметр равен 68 см:

\[ 3(a + b) = 68. \]

Разделим обе стороны на 3:

\[ a + b = \frac{68}{3} \approx 22.67. \]

Однако мы знаем, что \( a \) и \( b \) являются целыми положительными числами, и сумма \( a + b \) также должна быть целым числом. Таким образом, мы пересчитываем подходы к пониманию, потому что мы работаем с периметром квадратов, который сейчас включен в общее значение.

Будем рассматривать случаи, когда \( a + b \) принимают различные целые значения, такие как:

1. \( a + b = 22 \)
2. \( a + b = 23 \)
3. \( a + b = 21 \)
4. Границы от 1 до 10 для каждой переменной, контролируя, чтобы \( b > a \).

Исходя из всех этих факторов, допустим \( a + b = 22 \):

• Если \( a = 10 \), \( b = 12 \) (в этом случае \( b > a \))
• Если \( a = 9 \), \( b = 13 \)
• Если \( a = 8 \), \( b = 14 \)
• Если \( a = 7 \), \( b = 15 \)
• Если \( a = 6 \), \( b = 16 \)
• Если \( a = 5 \), \( b = 17 \)
• Если \( a = 4 \), \( b = 18 \)
• Если \( a = 3 \), \( b = 19 \)
• Если \( a = 2 \), \( b = 20 \)
• Если \( a = 1 \), \( b = 21 \)

Теперь приводим все возможные варианты:

Сумма \( a + b \) может равняться 22 (с соответствующими \( a, b \)), и мы точно можем подтвердить \( a + b \) в пределах \( a + b < 23 \) вплоть до 21, таким образом:

\[ \text{Сумма } a + b = 21, 22. \]

Ответ: возможные значения суммы \( a + b \) равны 21 и 22 сантиметры.