1.Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20% больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить форму, Кот в сапогах сел на диету и вскоре…

1. Пусть вес Кота в сапогах до новогодних праздников равен \( x \) кг. После новогодних праздников его вес увеличился на 20%, что равно \( 1.2x \) кг.

Когда Кот сел на диету, его вес уменьшился на 20% от \( 1.2x \):
\[ 1.2x - 0.2 \cdot 1.2x = 1.2x \cdot 0.8 = 0.96x \]

И также он потерял 224 грамма по сравнению с весом до праздников, что значит:
\[ 0.96x = x - 0.224 \]

Теперь создадим уравнение:
\[ 0.96x = x - 0.224 \]
Преобразуем его:
\[ 0.224 = x - 0.96x \]
\[ 0.224 = 0.04x \]
Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{0.224}{0.04} = 5.6 \text{ кг} \]

Ответ: Кот в сапогах весил 5.6 кг до новогодних праздников.

2. В квадрате 8 х 8 всего 64 клетки. Если квадраты со сторонами 1 и 2 должны быть поровну, пусть \( x \) — общее количество квадратов. Поскольку размеры 1 и 2 квадратов различаются, нужно учитывать, сколько клеток занимает один квадрат каждого типа. Квадрат 1 занимает 1 клетку, а квадрат 2 — 4 клетки.

Пусть \( n \) — количество квадратов со стороной 1, а \( m \) — количество квадратов со стороной 2. Условие задачи гласит, что \( n = m \).

Итак, у нас есть: \[ n + 4m = 64 - k, \] где \( k \) — количество вырезанных клеток.

Подставим \( n = m \): \[ n + 4n = 64 - k \implies 5n = 64 - k \implies n = \frac{64 - k}{5} \]

Чтобы \( n \) было целым, \( 64 - k \) должно быть кратно 5. Учитывая, что \( k \) можно варьировать от 0 до 64 (должно быть четным), можно вырезать: 0, 1, 2, 3, 4 и максимум 4 клетки. Проверяем возможные значения \( k \), которые делают \( 64 - k \equiv 0 \mod 5 \):

При \( k = 4 \): \( 64 - 4 = 60 \) (кратно 5), При \( k = 9 \): \( 64 - 9 = 55 \) (не кратно 5), При \( k = 14 \): \( 64 - 14 = 50 \) (кратно 5), и так далее.

Наибольшее значение \( k \), которое удовлетворяет этому условию - 4.

Таким образом, наибольшее количество вырезанных клеток равно 4.

3. Пусть \( x \) — количество одноруких монет, \( y \) — двухрублёвых монет, \( z \) — пятирублёвых монет.

У нас есть система уравнений:

1. \( x + y + z = 300 \) (общее количество монет)
2. \( x + 2y + 5z = 1000 \) (общая сумма в рублях)
3. Пусть \( x = z \) (две монеты одного достоинства имеют равное количество)

Подставим \( z \) на \( x \):

1. \( x + y + x = 300 \implies 2x + y = 300 \)
2. \( x + 2y + 5x = 1000 \implies 6x + 2y = 1000 \implies 3x + y = 500 \)

Теперь получаем систему уравнений:

1. \( 2x + y = 300 \)
2. \( 3x + y = 500 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \[ (3x + y) - (2x + y) = 500 - 300 \] \[ x = 200 \]

Подставим \( x \) в первое уравнение: \[ 2(200) + y = 300 \implies 400 + y = 300 \implies y = -100 \]

Число не может быть отрицательным, значит необходимо попробовать \( z \) равное другому достоинству. Наиболее вероятное количество - 100, если их по 100, тогда: 100+100+100=300.

Итак, количество монет одного достоинства равно 100.

4. Из 50 участников 25 knights (рыцари) и 25 liars (лжецы). После определенного количества игр выбыло 25 участников.

Каждый из оставшихся, как утверждается, выиграл ровно у одного рыцаря.

Таким образом, оставшиеся могли быть либо рыцарями, либо лжецами, и каждая из этих групп могла сообщить, что они выиграли у рыцаря. Если оставшейся группой были бы лишь рыцари, тогда каждый из них мог бы выиграть у одного из 12 или не всех (всех рыцарей станет 12 и больше).

Таким образом, максимальное количество рыцарей осталось среди участников турнира: 25.

Ответы:

1. 5.6 кг
2. 4 клетки
3. 100 монет
4. 25 рыцарей