Из клетчатого квадрата 9 × 9 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы каадратов каждого типа получилось поровну.…

Чтобы решить задачу, начнем с определения общей площади квадратной сетки размером 9 × 9. Площадь такого квадрата равна:

\[ 9 \times 9 = 81 \text{ клетка} \]

Нам известно, что мы вырезали некоторую часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру мы разбили на квадраты со сторонами 1 и 3, причем количество квадратов каждого типа должно быть поровну.

Обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( x \), а количество квадратов со стороной 3 также будет равно \( x \). Тогда площади квадратов можно выразить следующим образом:

• Площадь квадратов со стороной 1: \( 1^2 \times x = x \)
• Площадь квадратов со стороной 3: \( 3^2 \times x = 9x \)

Общая площадь, занимаемая квадратами, будет равна:

\[ x + 9x = 10x \]

Так как мы вырезали \( y \) клеток, то оставшаяся площадь равна:

\[ 81 - y \]

Приравняем оставшуюся площадь к площади квадратов:

\[ 81 - y = 10x \]

Таким образом, можно выразить \( y \):

\[ y = 81 - 10x \]

Теперь мы знаем, что количество вырезанных клеток \( y \) должно быть неотрицательным, что требует:

\[ 81 - 10x \geq 0 \]

Это приводит нас к неравенству:

\[ x \leq 8.1 \]

Так как \( x \) - целое число, оно может принимать значения от 0 до 8. Для каждого значения \( x \) найдём соответствующее значение \( y \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = 81 \)
• Если \( x = 1 \), то \( y = 71 \)
• Если \( x = 2 \), то \( y = 61 \)
• Если \( x = 3 \), то \( y = 51 \)
• Если \( x = 4 \), то \( y = 41 \)
• Если \( x = 5 \), то \( y = 31 \)
• Если \( x = 6 \), то \( y = 21 \)
• Если \( x = 7 \), то \( y = 11 \)
• Если \( x = 8 \), то \( y = 1 \)

Теперь у нас есть все возможные значения количества вырезанных клеток. Таким образом, количество клеток, которые могли быть вырезаны, может быть равно:

\( 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 \).

Все эти значения удовлетворяют условиям задачи.