даны векторы a(2;-3;-5) b(5;-3;-4) c (10;-3;14) являются ли они компланарными
Чтобы определить, являются ли векторы \( \mathbf{a} = (2, -3, -5) \), \( \mathbf{b} = (5, -3, -4) \) и \( \mathbf{c} = (10, -3, 14) \) компланарными, можно использовать метод вычисления смешанного произведения. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.
Смешанное произведение для трех векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) можно вычислить по формуле:
\[ V = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \]
Сначала найдем векторное произведение \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \):
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & -4 \\ 10 & -3 & 14 \end{vmatrix} \]
Вычислим определитель:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -3 & 14 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 10 & 14 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 10 & -3 \end{vmatrix} \]
Теперь вычислим каждую из трех матриц:
\(\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -3 & 14 \end{vmatrix} = (-3) \cdot 14 - (-3) \cdot (-4) = -42 - 12 = -54\)
\(\begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 10 & 14 \end{vmatrix} = 5 \cdot 14 - (-4) \cdot 10 = 70 + 40 = 110\)
\(\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 10 & -3 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-3) - (-3) \cdot 10 = -15 + 30 = 15\)
Теперь подставляем найденные значения:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = -54\mathbf{i} - 110\mathbf{j} + 15\mathbf{k} \]
Следовательно:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-54, -110, 15) \]
Теперь вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \):
\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (2, -3, -5) \cdot (-54, -110, 15) \]
Это равно:
\[ 2 \cdot (-54) + (-3) \cdot (-110) + (-5) \cdot 15 = -108 + 330 - 75 = 147 \]
Так как смешанное произведение не равно нулю (\( V = 147 \)), это значит, что векторы \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) не являются компланарными.
